DOKAZ je logički postupak, u kojemu se za istinitost neke tvrdnje (teze) navode uvjerljivi razlozi. Postavljena tvrdnja izlazi tada kao nuždna posljedica iz navedenih premisa (v.), koje su već prihvaćene kao sigurno utvrđene istine. Dokazati znači dakle opravdati istinitost nekog suda pomoću silogističkog postupka. Istina se može dokazivati uglavnom na dva načina: ili tako, da se izravno navode očiti razlozi za dotičnu tvrdnju (izravni ili apodiktički dokaz), ili tako, da se neizravnim putem, ukazujući na nemogućnost održanja kontradiktorne (v.) opreke, posredno zaključuje na istinitost postavljene tvrdnje (neizravni ili apagogički dokaz). — Izravni dokaz može imati oblik ili kategoričkoga ili hipotetičkoga silogizma (v.). Kad bi na pr. trebalo dokazati, da sisavci mogu biti i vodene životinje, mogli bismo to učiniti ovako: »Kitovi su vodene životinje, — kitovi su sisavci. — Ima sisavaca, koji su vodene životinje.« — Izravni d. može biti ili deduktivan (progresivan), kad se ide od razloga do posljedaka, ili induktivan (regresivan), kad se polazi od posljedaka i ide k razlozima. — Neizravni d. imade oblik disjunktivnoga silogizma. Na pr. kad bismo trebali induktivnim putem dokazati, da u krugu može postojati samp jedno središte, postavili bismo ponajprije alternativni sud: »U krugu postoji ili jedno ili više središta. — Ako postoji više središta, a kroz središte se uviek može povući promjer, koji dieli krug na dvie polovice, onda postoje u krugu više nego dvie polovice. — To je pak nemoguće. — Dakle u krugu može biti samo jedno središte.« — Ovakav način dokazivanja, koji pokazuje, do kakvih sve bezsmislica može dovesti neka tvrdnja, zove se u logici i tjeranje do bezsmislenosti (lat. deductio ad absurdum).

Snaga dokaznog postupka (»nervus probandi«) ovisi o jačini dokaznih razloga (»principia demonstrandi«). — Dokazni su postupci kadgod vrlo dugi, ali nikada bezkonačni, jer se u njima svagda dolazi ili do takvih sudova, kojih je istinitost neposredno očita (→ aksiomi), ili takvih, koji predstavljaju zahtjeve zdravoga razuma (→ postulati), pa ih ne treba dalje dokazivati.

Osim t. zv. objektivnih dokaza, koji se pozivaju na neke obćenite istine, ima i takvih, koji se oslanjaju tek na neka subjektivna pristajanja uz neku tvrdnju, a ne apeliraju na obćenite istine. To su t. zv. subjektivni dokazi (lat. argumentum ad hominem).

Pogrješke u dokazivanju nastaju: 1. ako netko previše ili premalo dokazuje (»Qui nimis probat, nihil probat« — tko odviše dokazuje, ništa ne dokazuje); 2. ako se iz jednog područja u dokazivanju prelazi u neko drugo strano područje (grč. μετάβασις εἰς ἄλλο γένος); 3. ako se prave skokovi u nizanju dokaznih razloga (lat. saltus in concludendo); 4. ako su sami razlozi još nedokazani (grč. ὔστερον πρότερον, lat petitio principii); 5. ako se dokazni postupak temelji na neistinitom dokaznom razlogu (grč. πρῶτον ψεῦδος) i konačno 6. ako se sam dokazni postupak kreće u krugu, pa se dokazni razlozi dokazuju tezom, a teza dokaznim razlozima (lat. circulus vitiosus).

Osim ovakva dokazivanja po očitosti ima još jedna vrsta dokaza, koji se primjenjuje ondje, gdje je u neku pojavu ili zbivanje nemoguće prodrieti dublje od samog brojenja (kao na pr. u klimatologiji, na burzi, na lutriji i t. d.). To je t. zv. dokaz po vjerojatnosti. Brojitba predstavlja područje primjene toga dokaza. Sam dokaz izražen je razlomkom, gdje su u brojniku nabrojeni svi slučajevi, koji govore za neku tvrdnju, a u nazivniku svi mogući slučajevi. Bacimo li na pr. kocku, na kojoj su ubilježeni brojevi 1—6, onda će vjerojatnost, da će pasti baš jedan određeni broj, biti izražena razlomkom ⅙.V. F-ć.

Matematički dokaz je slied zaključaka, koji, polazeći od osnovnih definicija i aksioma (v.) jednoga matematičkoga područja i kasnije uvedenih definicija i dokazanih teorema, pokazuje osnovanost jedne matematičke tvrdnje ili opravdanost jedne konstrukcije. Mjesto »dokazati« kaže se i »izvesti« u svezi s osnovnom misli deduktivne metode (→ dedukcija). Dokaz omogućuje »uviđanje« teorema, dovodi do uvjerenosti o »istini« ili »izpravnosti« njegovoj.

Matematički dokaz razvio se u dugom nizu godina iz matematičkih iztraživanja starih grčkih matematičara. Za Platona, a napose za Aristotela (v.) građa matematičkoga dokaza bila je uzor za dokazivanje u svakoj dokaznoj nauci. Rezultat rada više pokoljenja grčkih iztraživača na tome području sadržan je u konačnom obliku u Euklidovim Elementima (Στοιχεῖα, oko god. 325 pr. Kr., v.).

Klasična teorija dokaza, kako je predočuje Proklo (5. st. po Kr., v.) u svome komentaru prvoj knjizi Euklidovih Elemenata, navodi ove sastavne dielove matematičkog dokaza: 1. izričaj teorema, koji treba dokazati, ili problema, koji treba riešiti (πρότασις, propositio); 2. izlaganje zadanoga (ἔϰϑεσις, expositio, kasnije i hypothesis), koje utvrđuje, što je izričajem zadano; u geometriji sadržava taj dio crtanje i označivanje zadanih likova i izticanje dielova, koji su izričajem zadani; 3. određivanje traženoga (διορισμός, determinatio, → diorizam), koji razjašnjava na temelju oznaka iz 2., što se u izričaju traži; 4. priprava, konstrukcija (ϰατασϰευή, dispositio), koja dodaje zadanome, što još treba za dokaz; ona obuhvaća pomoćne konstrukcije, koje stvaraju između zadanoga i traženoga nove sveze, koje omogućuju dokaz. Tako se na pr. pri dokazu teorema, da zbroj kutova u trokutu iznosi 180°, konstruira jednim vrhom trokuta uzporednica sa suprotnom stranicom, da se na temelju teorema o izmjeničnim kutovima uvidi valjanost traženoga teorema. Aristotel je napose iztaknuo taj momenat u matematičkom dokazivanju, po kome teoremi, koji su bili sadržani u zadanome samo potencialno (v.), postaju očiti aktualno, i koji čini, da matematika nije čisto apodeiktička nauka. Ti novi odnosi, koji se mogu postaviti u različitim oblicima i obsegu, i novi pojmovi, koji uvode nova matematička bića na temelju osnovnih i izvedenih pojmova i odnosa, čine, da matematička metoda, koja je po svojim postupcima deduktivna (→ dedukcija), ipak u neprestanu živu stvaranju proširuje svoje područje; ali dakako, da se pri matematičkom dokazivanju služimo i klasičnim oblicima silogizama; 5. dokaz (ἀπόδειξις, demonstratio), koji iz zadanih predpostavaka i već dokazanih svojstava izvodi traženi teorem ili rješava problem; 6. zaključak (συμπέρασμα, conclusio), koji sabire u jedno rezultat dokaza, navodi ponovno dokazani teorem ili izvršenu konstrukciju i time pokazuje, da je izričaj 1. zadovoljen. Svaki dokaz ne treba imati svih tih dielova, no bitni su izričaj, dokaz i zaključak. Dva su još pojma, koji dolaze u klasičnoj teoriji dokaza. Pod lemom (λῆμμα, od grč. λαμβάνειν, »ono, što je prihvaćeno«, lat. lemma) razumieva se pomoćni teorem, koji služi pri izgradnji dokaza, a sam je već ili prije dokazan ili će se dokazati kasnije. Porizam (πόρισμα »dobitak«, corollarium) zove se obično neki teorem ili konstrukcija, koji izlaze uzput pri dokazivanju glavnoga teorema ili rješavanju zadanoga problema.

Stara teorija dokaza zna za dva glavna postupka dokazivanja: analizu i sintezu. Dokazivanje analizom polazi od tvrdnje, koju treba dokazati, i razčinjavajući elemente, koji u tu tvrdnju ulaze, svodi ih na jednostavnije, kojih je izpravnost već prije bila utvrđena. Sinteza postupa obrnuto; polazeći od jednostavnijih i već dokazanih teorema ili konstrukcija izgrađuje korak po korak dokaz teorema ili konstrukcije. O dokazivanju eksistencije novo uvedenih matematičkih tvorevina → Dokaz eksistencije.

Dokaz je ili izravan (direktan) ili neizravan (indirektan), koji se zove i apagogičan (od grč. ἡ εἰς τὸ ἀδύνατον ἀπαγωγή »svođenje na nemogućnost«) ili i reductio ad absurdum. Aristotel označuje taj način dokazivanja kao specifično matematički. Pri tome se polazi od tvrdnje oprečne tvrdnji teorema, a iz protivurječja s predpostavkama teorema, do kojih vode posljedice te oprečne tvrdnje, zaključuje se, da je prvotni teorem istinit. Taj način zaključivanja osnov je metode, kojom su grčki geometri, napose Eudokso (v.), Euklid i Arhimed, dokazivali neke od najvažnijih teorema, koji se danas dokazuju metodama infinitezimalnoga računa, a kasnije je dobila ime metoda ekshaustije (v.).

Važan jedan tip dokazivanja, kome nalazimo tragova i u starini, no kojega je načelnu važnost upoznalo u punoj mjeri tek novije vrieme, jest matematička ili podpuna indukcija ili dokaz od n na n + 1. Kada treba dokazati, da neki teorem, koji zavisi o prirodnom broju n, vriedi za sve prirodne brojeve, bit će to pokazano, ako se može utvrditi, da taj teorem vriedi za broj n + 1, ako vriedi za n, i ako se može ovjeroviti, da vriedi za maleni koji prirodni broj, na pr. za n=1 ili 2.

Circulus vitiosus nastaje u dokazu, ako se u sliedu postupaka, koji vode do teorema, prikriveno služimo samim teoremom, koji hoćemo dokazati, ili ako se, definirajući nov pojam, služimo već tim pojmom. Ta pogrješka u dokazu oduzima mu svu dokaznu snagu.

Često se polaže važnost i na čistoću matematičkoga dokaza, t. j. na zahtjev, da se dokazi jednoga matematičkoga područja izvode samo sredstvima toga područja. U starini je već Aristotel postavio taj zahtjev. No poviest matematičkih nauka pokazuje i obrnuto, da upravo sveza među dva matematička područja, za koja se čini da su daleko, može biti izvorom za napredak matematičke spoznaje.

U drugoj polovini 19. st. teorija je dokaza počela primati zajedničkim radom logičara i matematičara sasvim nov oblik. Novija teorija dokaza danas je grana matematičke filozofije, o kojoj se mnogo i živo razpravlja. Jedinstvene teorije dokaza nema, nego shvaćanje o naravi dokaza i razlogu njegove uvjerljivosti zavisi o stajalištu, koje se zauzima u pitanju osnova matematike. Drugo dakle stajalište ima aksiomatski formalizam (→ aksiomatika), a drugo intuicionizam (v.), ako se ograničimo na ta dva glavna smjera u shvaćanju biti matematike. U aksiomatskom formalizmu postoji teorija dokaza, u kojoj se izvode pravila za dokazivanje, t. j. naznačuju se formalne operacije, koje se smiju izvoditi s aksiomima ili već dokazanim teoremima, da se dođe do novih teorema. Dokazi postaju sheme, s kojima se izvode formalne operacije po određenim pravilima. Za intuicionizam smjera Brouwerova (v.) dokaz ima sadržajno značenje i nema nepromjenljivih, obćih pravila, po kojima bi se moralo dokazivati. Dokaz je misaona konstrukcija, koja ima vriednost samo onda, ako, polazeći od jednostavnijih sastavnih dielova s točno označenim sredstvima, korak po korak i konačnim brojem postupaka, sastavlja tvrdnju, koju treba dokazati (= konstruirati). On je dakle bitno finitnog značaja. Intuicionizam se napose protivi neograničenoj upotrebi neizravnih dokaza u obliku zaključivanja tertium non datur (→ intuicionizam) primienjenih na teoreme, koji se tiču bezkonačno mnogo matematičkih objekata.Ž. M.