1. Pisani indijsko-arapski brojni sustav. Tu se na određen način (→ razlomak) svaki broj može predočiti s pomoću 10 brojaka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (koje po redu znače: ništa ili nulu, jedan, dva, tri, četiri, pet, šest, sedam, osam i devet) i osnovnih jedinica 1, 10, 10², 10³,..., te 10^-1 = 1/10’ 10^-2<znak> 1/10²’.... Evo glavnih svojstava toga sustava:

a) on je dekadski, t. j. baza mu je deset: ima 10 brojaka;

b) on je pozicioni: vrijednost brojke u simbolu zadana broja zavisi o njezinu položaju u tom simbolu; na pr. prvi 5 u 55 znači 5.10, dok drugi 5 znači 5.1; c) on zadovoljava Hankelovu principu redosljeda: brojke za jedinice višega reda nalaze se ispred brojaka za jedinice nižega reda, na pr. 54 znači 5.10+4, a ne 5+4.10; d) on je aditivno-multiplikativan: broj se dobiva iz osnovnih jedinica zbrajanjem i množenjem, na pr. 540,07 = 5∙10²+4∙10+0∙1+0∙10^-1+7∙10^-2; e) on ima poseban znak, 0, za broj nula (ovo je svojstvo jedna od najvažnijih tekovina u matematici: ono je omogućilo razvitak matematike i njezine primjene); bez 0 ne bismo znali razlikovati brojeve 23; 203; 2000300 i t. d. (slučaj sumersko-babilonskoga pozicionog br. sustava s bazom 60).

Historijat. Taj se sustav razvio u Indiji, i to po svoj prilici iz računanja na abaku, posutu pijeskom ili prašinom (ovo to prije, što u sanskrtu ima nezavisnih posebnih riječi za sve potencije 10, 10², 10³, ..., 10⁹, 10¹⁰); u 5. st. već je izgrađen tako, da ga na pr. Ariabhata (5. st.), Brahmagupta (6. st.) uopće ne tumače u svojim djelima smatrajući ga opće poznatim. Bitna mu je oznaka, da ima 0 (→ brojka). U Siriji se spominje 666 (biskup Sabokht). Arapi su ga primili u 7. i 8. st. i raširili po zapadnom kršćanskom svijetu. Prvu arapsku matematiku u indijskom sustavu napisao je u 8. st. al-Khowârizmî ili Alkvarazmi, a Adelard iz Batha preveo ju je oko 1120 na latinski pod imenom Liber algoritmi de numero Indorum, prema čemu u 12. st. riječ algoritam (v.) znači računanje u indijskom br. sustavu. Liber abaci (1202) od Leonarda iz Pize pisana je u ind.-arap. br. sustavu. U 15. st. taj je sustav već istisnuo rimski br. sustav; otada je on velika tekovina čovječanstva (→ algoritam).

2. Gotovo svaki narod ima svoj posebni govoreni br. sustav; brojke našega govorenoga sustava jesu: ništa, jedan, dva, tri četiri, pet, šest, sedam, osam, devet, deset, sto ili stotina, hiljada ili tisuća, milijun i miljarda; on je multiplikativno-aditivan, zadovoljava Hankelov princip osim za brojeve 11, 12,..., 19 (na pr. petnaest = pet nad deset mjesto deset i pet).

3. Brojni sustavi u materijalu danas se manje upotrebljavaju; u najstarije doba prsti su bili takav sustav (računanje prstima!), poslije su došli abaki (v.). »Brojke« su bile vrlo raznolične: kamenčići, kuglice, trstika, uzlovi, razne figure, a u 11. i 12. st. i posebno izrađene ind.-arapske brojke 1, 2,..., 9 (bez 0!) zvane apices (→ abak).

4. Gotovo svaki narod na višem stupnju razvoja stvorio je neki pisani br. sustav, no danas se čovječanstvo služi gotovo isključivo indijsko-arapskim. Gotovo svi poznati pisani br. sustavi zadovoljavaju Hankelov princip redosljeda, primitivniji su aditivni, a razvijeniji većinom multiplikativno-aditivni. Egipćani su imali dva adit. sustava: hijeroglifski (oko 3400 pr. Kr.) i hijeratski (Ahmesova računica pisana je u ovom) sa znacima za 1, 2,.., 9, 10, 20,.., 90, 100; na pr.

dakle:  znači 321. Babilonci (klinasto pismo!) imali su mult.-aditivni sustav sa znacima: