BROJ je osnovni element u matematici; dopušta više definicija. Kao apstraktan pojav, bez obzira na fizikalne ili geometrijske predodžbe (vrijeme i dužina!), definiran je tek u drugoj polovici 19. st. (aritmetizacija broja i matematike). Rezultat je iskustva i apstrakcije. Glavna mu je uloga, da naznači: 1. mjesto ili položaj predmeta u nizu predmeta (redni ili ordinalni brojevi; → skupovi); 2. koliko zadan skup ima članova (glavni ili kardinalni br. → skupovi) i 3. koliko je puta jedna količina veća od druge istovrsne količine (omjeri i razmjeri). Historijat pojma broja zapravo je povijest matematike.
I. Geneza broja. I vrlo primitivan čovjek imao je neki smisao, instinkt za broj, odnosno brojenje: znao je na pr., da nema onoliko ruku, koliko prsti. Zanimljivo je, da i nekoje ptice, na pr. vrana, pa i nekoji kukci, na pr. genus Eumenus (ali koliko se sada zna, nijedan sisavac osim čovjeka) imaju smisao za broj, makar se pri tome radilo o vrlo malim brojevima 1, 2, 3, 4. Uostalom, i na svojem današnjem visokom stupnju razvoja čovjek vidom jedva razlikuje 5 od 4, a da se ne služi procesom brojenja; taktilni brojevi također su niski: ispod 5 ili 6. Jasno nam je, koliko je bilo prirodno, da je na pitanje, koliko ima jabuka, čovjek nijemo odgovorio: dva, pet, deset, ispruživši 2 prsta, cijelu šaku, obje šake i t. d. Zato u nekih naroda broj 2 znači oči, 5 pesnicu, 10 dvije pesnice, 20 čovjeka (20 prsta), 32 zube i sl.
Mnogo je vremena proteklo, dok nije čovjek uvidio, da 2 kamena, dvije misli, 2 udarca (slično i za skupove od više elemenata: 5, 30 i t. d.) imaju zajedničko: broj dva (odnosno broj 5 odn. broj 30).
Veće je brojeve čovjek nastojao izraziti manjima vršeći na ovima računske operacije, najčešće zbrajanje i množenje, rjeđe odbijanje, a gotovo nikada dijeljenje. I kod nas je na pr. 17 = sedam nad deset, 50 = pet deset, a i danas se još čuje 18 = 20 — 2, 98 = 100 — 2; u francuskom je jeziku 97 = 4 ∙ 20 + 10 + 7. Kod nas su osnovne riječi za brojeve: ništa, jedan, dva, tri, četiri, pet, šest, sedam, osam, devet, deset, sto, hiljada ili tisuća, milijun i miljarda. Kod nekih naroda, na pr. Indijaca, ima riječi za vrlo velike brojeve (→
brojni sustavi).
LIT.: T. Dantzig, The Number, the language of Science, London 1930.
II. Vrst brojeva. 1) Prirodni brojevi. Skup N prirodnih b. zamišljamo danim u obliku niza prirodnih brojeva
(1) 1, 2, 3, 4,.... n, n + 1,.............. ,
pa svaki prirodni broj n u (1) ima svoje mjesto: 1 je prvo, 2 je drugo i t. d. Za dva različita prir. broja m, n, pišemo m<n ili n>m, ako je m ispred n u nizu (1).
a) Zbrajanje ili adicija. Zbroj ili suma m + n prir. brojeva m, n jest n-ti prir. broj između prir. brojeva većih od m; dakle je i m + n prir. broj. Brojevi m, n, koji se zbrajaju, zovu se pribrojnici ili sumandi. Lako se pokažu ova pravila:
(2) m + n>m (zakon monotonije za adiciju),
(3) m + n = n + m (zakon komutacije za adiciju),
(4) (m+n)+p=m+(n + p) (zakon asocijacije za adiciju).
b) Množenje ili multiplikacija. Stavimo li m.1=m, m.n = m + m + ... + m (n puta) za n>1, tada je simbol m.n definiran za svaki par prir. brojeva m, n; na pr. 3.2=3+3=6. Broj m.n zove se umnožak ili produkt brojeva m i n, a m, n su faktori produkta mn, i to: prvi multiplikand, a drugi multiplikator. Operacija, kojom se iz m i n dolazi do produkta mn, zove se množenje ili multiplikacija. Vidi se, da je
(5) mn>m za n>1,
(6) mn=nm (komutativno svojstvo multiplikacije),
(7) (mn)p = m(np) (asocijativno svojstvo multiplikacije),
(8) (m + n)p = mp+np (distributivno svojstvo multiplikacije).
c) Odbijanje ili suptrakcija (obrat ili inverzija adicije). Za tri prir. broja m,n,s, za koje je m+n=s, pišemo još m=s—n i kažemo, da je m razlika ili diferencija brojeva s i n; s je minuend, n suptrahend: na pr. 5—2=3, jer je 3+2=5. Ako je a>b, onda je a—b=(a + k)—(b + k) za svaki prir. broj k. Za svaki prir. broj n bit će n=(n + 1)—1 = (n+2)—2=(n+k)—k, za svaki prir. broj k. Svaki se dakle prir. broj može na bezbroj načina shvatiti kao razlika prirodnih brojeva. Lako se može pokazati, da se s prirodnim brojevima, shvaćenima kao diferencije prirodnih brojeva, računa po ovim obrascima:
(I) (a—b)+(c—d)=(a+c)—(b + d), (adicija),
(II) (a—b) ∙ (c—d)=(ac + bd)—(ad+bc), (multiplikacija),
(III) a—b=c—d, onda i samo onda, ako je a + d=b+c.
(IV) a—b<c—d, onda i samo onda, ako je a + d<b+c.
Nadalje je (a—b)—(c—d)=(a + d)—(b+c), ako je (a—b)> (c—d). Drugim riječima, promatramo li skup M svih diferencija prirodnih brojeva, u kojima je minuend veći od suptrahenda, onda taj skup može preuzeti ulogu samoga skupa N prir. brojeva, ako s članovima skupa M računamo po formulama I, II, III, IV. Što bi nastalo, kad bismo radili po tim formulama ne brinući se, je li a>b i c>d?
2. Cijeli racionalni brojevi. Promatrajmo dakle skup D simbolâ a-b, gdje su a, b bilo koji prir. brojevi, razdijelimo ga u razrede po propisu III (svaki razred sadržava međusobno jednake članove), a zbrajajmo i množimo njegove članove po propisu I odnosno II! Članovi skupa D zovu se cijeli racionalni brojevi ili naprosto cijeli brojevi. Tako je na pr. a-a = b-b za bilo koje prir. brojeve a i b; suma članova 1-2 i 3-4 skupa D iznosi (1+3) - (2+4), a produkt njihov je (3+8)-(4+6) = 11-10 = 1. Operacija odbijanja je neograničeno izvodljiva u D: (a-b)-(c-d)= (a + d)-(b + c), jer je prema zakonima (3), (4) i propisima I, III: [(a+d)-(b+c)]+(c-d)=[(a+d)+c]-[(b+c)+d]= [a + (d+c)]-[b + (c + d)] = [a+(c + d)]-[b + (c + d)]=a-b, a u drugu ruku simbol (a + d)—(b+c) član je skupa D.
Cijeli broj
(9) n—n,
gdje je n bilo koji prir. broj, zove se nula ili ništa, a označuje se sa 0.
Kako je 0 + a = a za svaki a iz D, običaj je, da se mjesto
Lako se vidi, da je —(—a)=+a, +(c—d)=c—d, —(c—d)= d—c =—c + d i t. d.; na pr. 3—5=(3—3)—(5—3)—0—2=—2; 5—3=(5—5)—(3—5)=0—(—2)=0+2 = + 2.
Tako osim prir. brojeva n, koji su identični s cijelim brojevima + n, imamo i cijele negativne brojeve —n; uvijek je —n<0<n.
Apsolutna vrijednost ili modul broja a, simbolički pisano |a|, jest po definiciji:
(11) |a| = a ili —a, već prema tome, da li je a<znak>0 ili a<0; na pr. |+3|=3, |-3|=-(-3)=3; dakle je |a|>0 za a≠0. Ukratko, nastojeći da provedemo obrat ili inverziju adicije, dobili smo, proširujući skup N prir. brojeva, skup D cijelih brojeva držeći se pri tom pravila I—IV, koja vrijede za računanje s prir. brojevima shvaćenima kao diferencije prir. brojeva (Hankelov princip permanencije). Po mjestu ili rangu možemo skup cijelih brojeva predočiti ovako:
(12) ......, -2, -1, 0, +1, +2, +3,....
ili na brojnom pravcu:
Pri tom zapravo svaki od tih simbola predstavlja neizmjerno mnogo članova iz D, na pr. +1 predstavlja bilo koju diferenciju (n+1)—n (n prir. broj).
2. Dijeljenje ili divizija (obrat ili inverzija multiplikacije). Racionalni brojevi. Izraz a∙b=c piše se još b = c:a ili b = c/a i kaže se, da je b količnik ili kvocijent brojeva c i a, pri čem se c zove dividend, a a divizor; broj se 0 isključuje kao divizor. Sama ta operacija zove se dijeljenje ili divizija. Kvocijent dvaju cijelih brojeva ne mora biti cio broj. Da dobijemo područje, u kojem je divizija neograničeno izvediva, isključivši jedino 0 kao divizor, postupa se upravo onako, kako smo malo prije postupali kod inverzije adicije : promatra se skup
(13) R svih simbola a/b, gdje su a, b bilo koji cijeli brojevi, osim toga b≠0; taj se skup razvrsta u razrede po propisu, da je
(14)a/b = c/d onda i samo onda, ako je ad=bc,
(15) a/b < c/d onda i samo onda, ako je ili ad<bc, bd>0 ili ad>bc, bd<0, a računa se u njemu po propisima:
(16) a/b + c/d = ad + bc/bd (propis za zbrajanje racionalnih brojeva),
(17)a/b · c/d = ac/bd (propis za množenje racionalnih brojeva),
odakle slijedi, da je
(18) a/b − c/d = ad/bc (odbijanje racionalnih brojeva),
(19) a/b : c/d = ad/bc (dijeljenje racionalnih brojeva).
Dakle je kvocijent dvaju članova iz R posve određen član iz R, isključivši slučaj, kada je divizor = 0. Članovi skupa R zovu se racionalni brojevi; na pr. 5/5, 7/2, 0/7.
Članove a/1 skupa R možemo označiti njihovom starom oznakom a iz D, jer jedni i drugi igraju istu ulogu; na taj način skup R prošireni je skup D, dakle i prošireni skup N: svaki je cijeli broj racionalan broj.
Modul |a| definira se kao u (11).
Evo racionalnih brojeva:
4. Interval. Okolina. Ako su a, b dva racionalna broja, za koja je a<b, tada se skup svih rac. brojeva x, za koje je a<x<b, zove interval ab ili ba skupa rac. brojeva i označuje se simbolom (a,b)R ili (b,a)R. Broj (b—a) zove se duljina intervala (a,b)R. Svaki interval rac. brojeva ima neizmjerno mnogo rac. brojeva. Pod okolišem rac. broja x u skupu R razumijevamo svaki interval rac. brojeva, koji sadržava x; na pr. za broj η>0 skup svih rac. brojeva x, za koje je |x—a| <η, čine jedan okoliš broja a, naime okoliš (a—η, a + η)R.
Za bilo koji rac. broj a brojevi a- 1/2, a-1/3, ..., a-1/n,... isto kao i brojevi a+1/2, .., a + 1/n, ... također su rac. brojevi, te se jedni i drugi sve više približuju broju a. Za svaki rac. broj a postoji niz rac. brojeva a1, a2,..., an, ... tako, da u svaki okoliš broja a padnu »gotovo svi« članovi toga niza, t. j. da za rac. po volji odabrani broj η>0 postoji indeks n0 tako, da je |an—a|<η za sve indekse n>n0. Kažemo u tom slučaju, da niz a1,..., an,.... konvergira prema broju a i pišemo lim an=a ili an → a za n → ∞. Lako se pokaže, da iz an → a, bn → b slijedi:
(21) an + bn → a + b
(22) an bn → ab.
To znači, da mjesto broja a možemo u računanju uzeti bilo koji niz rac. brojeva an → a i onda s tim nizom računati po gornjim obrascima. Kažemo li, da je neki niz a1,...an,... Cauchyjev ili da ispunjava Cauchyjevo svojstvo, ako za rac. po volji odabrani broj η>0 postoji indeks n0 tako, da je |am—an|<η za svaki m>n0 i svaki n>n0, t. j. ako su gotovo svi članovi an sadržani u »po volji uskim intervalima«, tada je jasno, da je svaki niz rac. brojeva, koji konvergira prema rac. broju, Cauchyjev niz. Kažemo li uopće, da je neki niz an konvergentan, ako postoji broj a tako, da svaki okoliš broja a sadržava gotovo sve članove niza an, t. j. da za po volji odabrani rac. broj η>0 postoji indeks n0 tako, da iz n>n0 slijedi |an-a|<η, tada se može pokazati, da ima Cauchyjevih nizova rac. brojeva, koji ne konvergiraju prema rac. brojevima; takav je na pr. niz 1 4/10, 1 41/100, ... gdje nam √ 2 = 1,41 ... predstavlja omjer dijagonale i stranice kvadrata: √ 2 nije rac. broj.
5. Iracionalni brojevi. Realni brojevi (aritmetički kontinuum). Pod skupom
(23) R1 realnih brojeva
razumijevamo skup svih Cauchyjevih nizova rac. brojeva razvrstan po propisu, da su dva takva niza: a1..., an, ... i b1 ..., bn,... jednaka onda i samo onda, ako je niz a1 b1, a2b2..., anbn ... također Cauchyjev niz rac. brojeva, a osnovne su operacije definirane po propisu, da pod sumom, odnosno produktom dvaju članova a1, a2,.., an, ... i b1, b2..., bn,... skupa R1 razumijevamo ova dva člana toga skupa:
(24) a1 + b1, a2 + b2,..., an + bn,... (definicija sume dvaju realnih brojeva);
(25) a1b1, a2b2,.., anbn,... (definicija produkta dvaju realnih brojeva).
Njihova diferencija odnosno kvocijent jesu dakle ova dva realna broja:
(26) a1—b1, a2—b2, ..., an—bn, ... (diferencija),
(27) a1/b1,a2/b2, . . , an/bn, . . samo ako nije bn → 0 (kvocijent).
Svaki se rac. broj a shvaća kao realni broj a, a, a,... ili kakav drugi realni broj, koji je jednak realnom broju a, a, a,....
Skup realnih brojeva zove se još i aritmetički kontinuum.
Vježba: Neka se pokaže da je 0+0=0, 1+1=2, ako se brojevi 0, 1, 2 shvate kao realni brojevi.
Modul realna broja a i interval u skupu R1 realnih brojeva definiraju se slično kao prije u skupu R. Izučavanje kontinuuma R1 olakšano je ovim njegovim svojstvom: svaki interval realnih brojeva sadržava rac. brojeva. Prema tome se svaki realni broj može po volji točno aproksimirati rac. brojevima. Vrlo je važno svojstvo aritmetičkoga kontinuuma, da je svaki Cauchyjev niz realnih brojeva konvergentan (Cauchyjev princip konvergencije).
Svaki se realni broj može prikazati kao decimalan razlomak (v.); da dec. razlomak predstavlja rac. broj, nužno je i dovoljno, da bude periodičan (v.), na pr. brojevi 3∙1444... odn. 3∙58508508.... jesu racionalni, dok broj 0∙1001000100001 ... nije racionalan.
Iracionalni brojevi su oni realni brojevi, koji nisu racionalni; takav je na pr. broj √ 2 .
6. Kompleksni brojevi. Jednadžbe x2+1=0, 3x2+5=0 nemaju rješenja u skupu realnih brojeva, no radimo li šablonski, u prvom bi slučaju bila rješenja ± √ -1 , a u drugom: ± √ −5/3 = ± √ 5/3 · √ -1 . Stavi li se √ -1 =i (Gauss), tada se simboli oblika a + bi, gdje su a, b bilo koji realni brojevi, zovu kompleksni brojevi, ako s njima radimo kao s binomima u varijabli i, uvažujući specijalno, da je i= √ -1 , dakle i2=-1, i3=-i, i4=1, općenito i4n=1, i4n+1 = i, i4n+2=-1, i4n+3=-i zan=0, 1, 2,... Specijalno je a + bi =a’+ b’i onda i samo onda, ako je a = a’, b = b’. Veličina i zove se imaginarna jedinica. Kompleksni broj a + 0.i igra istu ulogu kao realni broj a, pa se i stavlja a+0.i=a, te je po tome skup kompleksnih brojeva prošireni skup realnih brojeva.
Realni broj + √ a2 + b2 zove se norma, modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja a + bi, označuje se sa |a + bi|;specijalno |0| = 0.
7. Hiperkompleksni brojevi sa n jedinica e1, e2,..en su spojevi ili agregati oblika a1e1+a2e2+..+anen, (a1,.., ansu realni brojevi), s kojima se računa po izvjesnim pravilima. Najznačajniji su Hamiltonovi kvaternioni (v.) a i vektori (v.) bi išli ovamo.
LIT.: A. Pringsheim, Vorlesungen über Zahlenlehre, I. sv., Leipzig-Berlin 1916; O. Stolz—J. H. Gmeiner, Theoretische Arithmetik, I., II., Leipzig-Berlin 1911.
8. Transfinitni brojevi → skupovi.
9. Imenovani brojevi kazuju izvjesnu količinu ili položaj određenih jedinica, na pr. 2 kg, -5°C za razliku od neimenovanih ili čistih brojeva, kao što su 2 ili 5 ili -5.
10. Posebni ili određeni brojevi su konkretno dani brojevi kao 5 ili 84 za razliku od općih brojeva, slova, koja označuju bilo koji broj izvjesnog područja, na pr. n.
11.
Algebarski brojevi jesu rješenja algebarskih jednadžba (→
algebra) s rac. koeficijentima na pr.
3, 3-2i kao rješenja jednadžbe
x-3=0 odn.
x2-6x+13=0.Transcendentni brojevi su oni realni odnosno kompleksni brojevi, koji nisu algebarski. Eksistenciju im je pokazao Liouville; takvi su brojevi na pr.: e (Hermite), π (Lindemann), 2√ 3 (Gelfond).
III. Historijat. Čini se, da su Grci prvi imali predodžbu o prirodnim brojevima kao cjelini (Euklid pokazuje, da ima neizmjerno mnogo prostih brojeva); no oni su pod brojevima razumijevali jedino brojeve 2, 3,...., a jedinica, rac. brojevi i irac. brojevi nijesu za njih brojevi, premda inače razlomci i irac. brojevi igraju znatnu ulogu u geometrijskim istraživanjima Grka. U Ahmesovoj računici (v.) razlomci su na zavidnoj visini, a Ahmes računa s njima svodeći ih na t. zv. osnovne razlomke 1/2/span>, 1/3, 1/4, ...1/n,... i razlomak 2/3. Čini se, da se Pitagora prvi sreo s irac. brojevima, i to s brojem √ 2 = omjer dijagonale i stranice kvadrata, pokazavši, da ove dužine nemaju zajedničke mjere. Stifel (Arithmetica integra, Nürnberg 1544) prvi veli, da irac. broju pripada određeno mjesto među rac. brojevima (tim je on preteča Dedekindove teorije irac. brojeva). Strogu aritmetičku teoriju irac. brojeva dali su gotovo istodobno oko 1872 Méray i G. Cantor (kao u ovom članku: s pomoću nizova rac. brojeva), Dedekind (s pomoću t. zv. prereza [Schnitt] skupa R) i Weierstrass (s pomoću redova rac. brojeva).
Izum nule (Indijci, nekoliko stoljeća pos. Kr.) najprije kao brojke, a poslije kao broja, od vanredno je velikog značenja. I negativne brojeve izumili su Indijci: Brahmagupta (7. st.) promatra jednadžbe s negativnim koeficijentima kao na pr. -9=x2-10 x (on piše 9 mjesto -9), i to je prvi put, da se razlikuje negativno od pozitivnoga; Indijac Bhâskara (12. st.) izričito veli: »drugi korijen pozitivna broja dvoznačan je: pozitivan i negativan«. Indijsku matematiku, specijalno indijski brojni sustav, 0 i negat. brojeve prenijeli su u Evropu Arapi.
Vietina simbolika (16. st.) i osobito Descartesova Géométrie (1637) mnogo su pridonijele, da se udomaće negativni kao i irac. brojevi. Na kompleksne brojeve naišli su prvi Grci (Heron, 1. st. pr. Kr.). Cardano (16. st.) pokušava raditi s imaginarnim brojevima (rastavlja 40 u dva faktora 5 + √ -15 , 5 - √ -15 sa sumom 10), Bombelli nastavlja, a zaslugom J. Bernoullija, te osobito Gaussa i Cauchyja, kompleksni su brojevi postali trajnom tekovinom matematike. Moderna definicija kompleksnih brojeva s pomoću uređenih parova realnih brojeva (na sličan smo način u ovom članku uveli cijele rac. brojeve) dao je Hamilton 1837. Aksiomatička definicija realnih brojeva datira iz ovoga stoljeća (Hilbert, Huntington). Transfinitni su brojevi nastali svršetkom prošloga stoljeća.
LIT.: Encyklopädie der math. Wissenschaften, I. sv., Leipzig 1898— 1904 (2. izd. 1939); J. Tropfke, Geschichte der Elementarmathematik, II. sv., Berlin–Leipzig 1921.