ALGEBRA je dio matematike, koji izučava algebarske operacije s općim brojevima (→ broj), algebarske polinome (v.) i algebarske jednadžbe (v.). Kako je simboličko računanje ključ algebre, riječ algebra često znači i simboličko ili matematičko obrađivanje (metodu) uopće, pa se govori o algebri vektora, logičkih sudova, skupova, o algebri osjeta i t. d. U srednjovjekovnoj kirurgiji algebra je značila vještinu liječiti prekinute kosti; i danas je na španjolskom algebrist »kirurg«.
I. Ime. Naziv »algebra« dolazi od arapskog al gebr (džebr »upotreba sile«, a i »uspostavljanje« (lat. restauratio). Kao matematički izraz javlja se prvi put u djelu Al gebr w’al muqâbalah (č. Aldžebr val-mukabala), što ga je oko 825 napisao u Bagdadu Al Khowârizmî (Alhvarazmi). Tu al gebr znači zadanu jednadžbu tako preinačiti, da dolaze samo pozitivni članovi; na pr. za jednadžbu 3x2 — 4 — 6x + 6 = 5x — 8 + 9x2 — 8x al gebr je 3x2 + 6 + 8 + 8x = 5x + 9x2 + 4 + 6x. Al muqâbalah (lat. oppositio) je proces, kojim se, pošto je postignut al gebr, uočavaju dva istoimena člana na raznim stranama jednadžbe, pa se manjiod njih ispusti, a veći nadomjesti razlikom većeg i manjeg člana; na pr. iz zadnje jednadžbe dobivamo: 6 + 8 + 8x = 5x + 6x2 + 4 + 6x, pa 2 + 8 + 3x = 6x2 + 6x i napokon 2 + 8 = 6x2 + 3x.
Oetimologiji riječi algebra v. N. Sakellariou u Velikoj grčkoj enciklopediji, III., 1927, str. 443. U prošlosti je bilo više imena za algebru: aritmetika (Diofant), arte ili regula della cosa (Paciuoli), ars rei et census, ars cossica, ili cossa (njem. die Coss), ars magna (Cardano). l’arte maggiore (l’arte minore je aritmetika; 16. st.), logistica speciosa (Viète) i t. d.
II. Prikaz. 1. Zbrajanje, odbijanje, množenje, dijeljenje, n__
potenciranje xn za n cio broj > 0 i radiciranje V x za n cio broj > 0 zovu se jednim imenom algebarske operacije (prve četiri su t. zv. racionalne operacije). U algebri se za svaki broj x stavlja x0 = 1, 0 ∙ x = 0.
2. Algebarski monomi i polinomi. Izrazi ax x^2...x “n, gdje je a neka konstanta (v.), a1,a2,...,an su konstantni cijeli brojevi ž 0, a x1,X2,...,xn varijable (v.), zovu se algebarski monomi varijablâ x1,...,xn ili alg. monomi u x1,..., xn; broj a zove se koeficijent monoma, brojevi a1,a2,...,an zovu se stepeni ili stupnjevi s obzirom na pojedine varijable, a a1 + (a2 + ... + an se zove naprosto stepen ili stupanj monoma. Svaka se konstanta c smatra algebarskim monomom u varijablama x1,...,xn, i to stupnja neodređena ili 0, već prema tome, da li je c = 0 ili c + 0. Dva su algebarska monoma istoimena, ako su istog stupnja s obzirom na svaku varijablu; inače su raznoimeni. Na pr. 3x2y3z, \/5x2y3z su istoimeni, dok su xy2,x2y raznoimeni. Suma i produkt dvaju algebarskih monoma uvijek ima smisla: za svaku pojedinu vrijednost varijabla radi se o sumi odnosno produktu određenih brojeva. Ali dok je produkt dvaju algebarskih monoma opet algebarski monom:
slika1
suma je dvaju algebarskih monoma samo onda algebarski monom, ako su ta dva algebarska monoma istoimena; u tom je slučaju:
slika 2
Algebarski monomi i sume od 2, 3,... algebarskih monoma u x1,...,xn, zovu se algebarski polinomi u x1,...,xn; pojedini se sumandi zovu članovi polinoma; specijalno se govori o binomima, trinomima i kvadrinomima, kada polinom ima 2, 3 odn. 4 člana. Koeficijenti članova algebarskih polinoma zovu se koeficijenti toga polinoma, a najviši među stupnjima članova zove se stupanj toga algebarskog polinoma. Stupanj polinoma f označivat ćemo sa f. Suma i produkt dvaju algebarskih polinoma opet je algebarski polinom; produkt dvaju polinoma jednak je sumi produkata svakog člana jednog polinoma sa svakim članom drugog; ako su f, g dva polinoma, tada je fg = f 'g. Ako su f(x1,...,xn), g(x1,...,xn) dva algebarska polinoma u x1,...,xn, pak je broj f(x1,...xn) = broju g(x1,...,xn) za svaki specijalni izbor numeričkih vrijednosti od x1,...,xn, tada velimo, da su polinomi f, g identički jednaki i pišemo f = g. Da bude f = 0, nužno je i dovoljno, da svi koeficijenti polinoma f budu = 0.
Ako su tri polinoma f, g, h takovi, da je f = gh, velimo, da je polinom f djeljiv polinomom g, ili da je g divizor polinoma f; h se onda zove kvocijent polinomâ f i g (u tom redosljedu!). Svaki polinom, kojim su djeljiva dva zadana polinoma f, g, zove se zajednička mjera ili zajednički divizor polinoma f, g; onaj zajednički divizor algebarskih polinoma f, g, koji je djeljiv svakom zajedničkom mjerom algebarskih polinoma f, g, zove se najveća zajednička mjera polinoma f, g; označuje se sa (f, g). Naravno, dva algebarska polinoma f, g, imaju neizmjerno mnogo najvećih zajedničkih mjera, no kvocijent bilo kojih dviju između njih ne zavisi o varijablama polinoma f i g. U slučaju kad f, g zavise o jednoj jedinoj varijabli, mjera (f, g) određuje se t. zv. Euklidovim algoritmom (→ Aritmetika), a temelji se na ovom osnovnom teoremu o dijeljenju: Za dva algebarska polinoma f(x), g(x) s jednom varijablom x potpuno su određena dva algebarska polinoma u toj istoj varijabli x, q(x) i r(x), tako da je f(x) ? g(x) ∙ q(x) + r(x), gdje je ili r(x) = 0 ili r(x) < g(x). U prvom slučaju je polinom f(x) djeljiv polinomom g(x).
3. Algebarske jednadžbe. Korijen ili rješenje. Simbol oblika f(x1,...,xn) = g(x1,...xn), gdje su f, g dva algebarska polinoma u x1,...xn, zove se algebarska jednadžba s nepoznanicama x1,x2,...xn. Svaki sustav brojeva (ili brojnih izraza <znak> za koji je <formula> zove se korijen ili rješenje one algebarske jednadžbe. Dva su rješenja <formula> i <formula> samo onda jednaka, ako je <formula> =
Hl,—,Bn = Tjn; inače su rješenja različita. Stupanj algebarskog polinoma f — g zove se stupanj algebarske jednadžbe f = g; specijalno, stupanj polinoma f jest stupanj algebarske jednažbe f = 0.
Svaka algebarska jednadžba stupnja > 1 ima bar jedno rješenje (fundamentalni stavak algebre; D’Alembert; Gauss prvi strogo dokazao 1801). Da slično ne vrijedi za nealgebarske jednadžbe, pokazuje primjer x+7 + 5(+\/x+l)=0; ova jednadžba nema rješenja.
Odsad ćemo promatrati polinome s 1 varijablom, odn. jednadžbe s 1 nepoznanicom, pa će nam
(1) f(x)
značiti algebarski polinom a0xn + a1xn_1 + ... + an_1x + an, gdje su a0, a1,...,an koeficijenti polinoma uz a0^0; dakle je f = n. Razmatrat ćemo jednadžbu n-tog stupnja f(x) = 0, t. j. jednadžbu
(2) aoxn + aixn_1 +...+ an-ix + an — 0, a<) + 0.
Iz osnovnog teorema o dijeljenju izlazi: da f(x) bude djeljiv sa x — B, nužno je i dovoljno da bude f(|) = 0, t. j. da B bude korijen jednadžbe (2). Kažemo, da je B jedan k-struki korijen jednadžbe f(x) = 0, ako je polinom f(x) djeljiv sa (x — B)k, ali nije djeljiv s (x—B)k+1. Dva prethodna osnovna teorema daju sada ovaj identitet:
(3) f(x) = a0(x — Bi)“1 (* — — Šr)“r,
gdje su Bi,—,Br svi među sobom različiti korijeni jednadžbe (2), i to Bi je aj-struk korijen, ...,Br je ar-struk korijen jednadžbe (2). Naravno da je a1 +...+ ar = n. U buduće ćemo korijene jednadžbe (2) označivati sa
(4) Bi,B2,-,ln;
prema tome u (4) može biti i jednakih brojeva (ako naime zadana jednadžba ima bar jedno višestruko rješenje).
4. Rezultanta. Diskriminanta D(f). Ako je g(x) polinom b0xr + b1xr_1 + ... + br_ix+br, b(f£O, algebarski polinom r-tog stupnja, r>0, kada će dvije algebarske jednadžbe f(x)=0, g(x)=0 imati bar jedno zajedničko rješenje? Naravno, onda i samo onda, ako je (f,g)^l- Rezultanta dvaju algebarskih polinoma f(x), g(x) jest, po definiciji, determinanta (v.):
slika3