BIOMETRIJA (od grč. βίος »život«, μέτρον »mjera«) primjenjuje matematičko-statističke metode pri istraživanju živih bića, jednako kod oblika, kao i kod njihovih radnja, pa se radi toga razlikuje biometrija oblika i biometrija funkcija. Potonja može se bolje provesti samo kod bića, za koja su dovoljno usavršene fiziološke metode, a to je gotovo jedino kod sisavaca, gdje se može doći do točnijih brojčanih rezultata. Mnogo opširnije i točnije može se provesti biometrija oblika, koja je potrebna kod proučavanja varijabilnosti i nasljeđivanja.
Biometričkom metodom može se dobro i eksaktno pokazati variranje svakog bića, jer i istovrsna bića nisu nikada posve i potpuno jednaka, nego se radi varijabilnosti pomalo razlikuju u svim svojstvima. Mnoga se od njih mogu i mjeriti, pa se njihov karakter može izraziti i brojkama, koje se onda mogu sređivati i uspoređivati. Biometrička mjerenja, izvedena na mnogo različitih vrsta i s najrazličitijim svojstvima, koja se mogu mjeriti, brojiti, vagati i t. d., pokazala su, ako se obrađuje dovoljan broj jedinaka, da se variranje uglavnom izražava u frekvencionom ili Quételetovom poligonu i u najpotpunijem slučaju u krivulji vjerojatnosti.
Ova pravilnost u variranju zove se Quételetov zakon po belgijskom matematičaru L. A. J. Quételetu, koji je biometrički proučio visinu kod 25.878 sjevernoameričkih dobrovoljaca. Oni su bili visoki od 60—76 palaca, pa ih je razdijelio u 17 razreda i u svaki je dodijelio broj vojnika, koji su bili iste visine. Kod toga dodjeljivanja se pokazalo, da ni izdaleka ne dolazi u svaki razred isti broj vojnika, nego u neke da ih otpada vrlo malo, a u druge da dolazi 10, 50 i 100 puta više. Kad je poredao razrede i broj vojnika, onda se vidjelo, da je najviše vojnika srednje visine, a nižih i viših da simetrično biva postepeno sve manje:
|
Razred visine u palcima
|
60
|
61
|
62
|
63
|
64
|
65
|
66
|
67
|
68
|
69
|
70
|
71
|
72
|
73
|
74
|
75
|
76
|
|
Stvarni broj vojnika u tisućama
|
2
|
2
|
20
|
48
|
75
|
117
|
134
|
157
|
140
|
121
|
80
|
57
|
26
|
13
|
5
|
2
|
1
|
|
Idealni brojevi u tisućama
|
2
|
9
|
21
|
42
|
72
|
107
|
137
|
153
|
146
|
121
|
86
|
53
|
28
|
13
|
5
|
2
|
0
|
Kod tog niza brojeva opazio je već sam Quételet, da je vrlo sličan izračunanoj binomskoj formuli (a+b)n. Stavimo li u nju neku brojku, da je proračunamo, izađe niz brojeva, kojemu se često vrlo približuje niz nekog variranja. Iz (a+b)6 izlazi a6+6a5b + 15a4b2+20a3b3+15a2b4+ 6ab5+b6, a ako je a=b = 1 izađe konačno:
1+6 + 15 + 20+15 + 6 + 1, t. j.
od srednje vrijednosti simetrično padaju veće i manje vrijednosti, kod variranja plus i minus varijante. Kad se ove brojke predoče grafički, onda se pokaže binomska krivulja. Unesemo li idealne brojeve u Quételetove razrede američkih vojnika, kao što je učinjeno gore u 3. redu, vidimo, da se vrlo dobro podudaraju.
Na biometrički je način proučeno takvo kolebljivo variranje kod mnogo živih bića. Davenport je mjerio variranje broja rebara na lijevoj plosnatoj školjki kapice (Pecten opercularis), Weldon je brojio gornje zubiće na rostrumu račića kozice (Palaemonetes varians), Mayer broj radijarnih kanala meduze (Pseudoclytia pentata), Duncker šipčice u leđnoj peraji ribe mali balavac (Acerina cernua), Bumpus je proučio variranje kućice morskoga puža (Litorina litorea), Petersen broja šipčica u repnoj peraji ribe obliša (Pleuronectes), Voris broja ljusaka u bočnoj pruzi sjevernoameričkog šarana (Pimapheles notatus), Hefferau broj zubića na rubu čeljusti crva mnogočekinjaša (Nereis limbata), Tower šare na vratnom štitu koloradovske zlatnice i t. d. U svakom slučaju su našli, da se ovo fluktuantno variranje uglavnom ravna po Quételetovu zakonu variranja po binomskoj formuli, ali dakako da je to samo jedan slučaj, jer se variranje vrši na više različitih načina, da varijacijska krivulja ima dva vrha ili više njih i t. d.
Po ovoj matematičko-statističkoj metodi vidimo, da u svakoj vrsti ili čistoj pasmini i lozi postoji neprekinut niz varijanata između dvije krajnosti. One su povezane svim prijelazima, ali većina jedinaka se sabrala oko osrednje vrijednosti. Prostor između krajnjih vrijednosti je veličina variranja ili fluktuacija svojstva, pa se radi toga takvo variranje zove fluktuantno (kolebljivo) variranje. N. F-k.
Belgijski antropolog Quételet je prvi u biologiji primijenio matematiku (1871). Iza njega slijede: Galton, Pearson Weldon, Bateson Johannsen i dr.
Dva su uzroka, da neko svojstvo organizma nije u potomstvu posvema stalno. Između potomaka s podjednakim nasljedivim osebinama promjenljivost je svojstava uvjetovana vanjskim činiocima (toplina, vlaga, svijetlo, hrana), pod kojima se pojedini organizmi i pojedini organi razvijaju (modifikacija).
U populaciji pak je varijacija jednog istog svojstva uzrokovana genetskom razlikom (naslijeđenom) pojedinih organizama, kao i modifikacijom.
Promjenljivost svojstva nekog organizma varira oko aritmetičke sredine ili srednje vrijednosti (M) dobivene mjerenjem tog svojstva na varijantama, koje se nalaze na jednom individuumu (na pr. veličina listova na nekoj biljci), bilo na više individua (na pr. visina biljaka izvjesne sorte). Plus-varijante su one koje su veće, a minus-varijante one, koje su manje od srednje vrijednosti. Način, kako reagira neki organizam na vanjske faktore, zovemo njegovom reakcionom normom. Reakciona je norma nasljediva.
Najveći otklon u pozitivnom i negativnom smjeru od srednje vrijednosti zovemo varijacionom širinom izvjesnog svojstva. Manjih razmaka od srednje vrijednosti ima najviše, a najvećih razmaka ima najmanje. Ako frekvenciju za pojedine razmake grafički prikažemo, dobit ćemo krivulju, koju zovemo varijacionom, Galtonovom ili Quételetovom krivuljom. Ova se krivulja više ili manje podudara s binominalnom ili normalnom krivuljom. Normalna ili binominalna krivulja prikazana je na priloženoj slici, te je konstruirana na osnovi binominalne formule (a + b)n, u kojoj a = b i n = ∞.
Najvažnije su točke ove krivulje: sredina krivulje, te one točke krivulje projicirane na apscisu, gdje centralna konkaviteta prelazi u lateralnu konveksitetu. Sredina krivulje drži ravnotežu između lijevog i desnog ramena krivulje te je prema tome aritmetička sredina ili srednja vrijednost (M) od minus- i plus-varijanata.
Druge dvije spomenute točke važne su opet radi toga, što mjere relativnu širinu krivulje, a time i varijabilitet svojstva istraženog broja varijanata.
Biometrički možemo obrađivati kako kvantitativna tako i kvalitativna svojstva. Prema tome dijelimo varijacije odnosnih svojstava na a) kvantitativne i b) kvalitativne. Iz dobivenih varijaciono-statističkih brojeva možemo izvoditi valjane zaključke samo onda: a) ako je istraživani materijal biološki jednoličan; smjesa različnih genotipova ili isti genotipus, koji je smjesa varijanata izraslih pod vrlo različitim prilikama, nepodesni su za varijaciono-statistička istraživanja, b) ako se istražuje dovoljno velik broj varijanata.
Kao primjer za biometrička istraživanja neka posluži ovo:
Iz naše šomodske pšenice i to čiste linije (potomstvo homocigotne biljke) odabrali smo redom bez naročita izbora 400 biljaka, da bismo ustanovili prosječnu duljinu klasa i prosječan broj klasića na klasu. Od svake biljke odabrali smo samo klas glavne vlati. Izmjerili smo najprije duljinu svakog pojedinog od ovih 400 klasova, a onda broj klasića na svakom klasu. Duljina klasova varirala je od 6 do 15 cm. Ako pojedine varijante smjestimo u razrede s razmakom od 0,5 cm (ovaj razmak zovemo areal), onda nastaje ovaj varijacioni red:
|
Duljina klasa u cm
|
6
|
6.5
|
7
|
7.5
|
8
|
8.5
|
9
|
9.5
|
10
|
10.5
|
11
|
11.5
|
12
|
12.5
|
13
|
13.5
|
14
|
14.5
|
15
|
|
Razredna frekvencija
|
3
|
8
|
12
|
23
|
27
|
39
|
48
|
56
|
45
|
37
|
26
|
21
|
18
|
14
|
10
|
7
|
4
|
2
|
|
Broj klasića na onih 400 klasova varira od 11 do 25. Ako ove varijante razmjestimo u razrede s razlikom od jednoga klasića, dobit ćemo varijacioni red, kako slijedi:
|
Broj klasića na klasu
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
Ukupno
|
|
Razredna frekvencija
|
3
|
10
|
16
|
28
|
41
|
59
|
57
|
49
|
38
|
29
|
25
|
19
|
15
|
7
|
4
|
n = 400
|
Prosječnu duljinu klasa u ovoj pšeničnoj sorti izračunamo po formuli za srednju vrijednost M = A ± a ∑ pa/n. U toj je formuli A aproksimativna srednja vrijednost, koju izaberemo po volji kao sredinu bilo kojeg razreda u varijacionom redu na pr.: A = 10,25 cm. Ovoj vrijednosti moramo ili pribrojiti ili od nje odbiti a ∑pa/n, pa ćemo dobiti pravu srednju vrijednost; a je razredni areal (u našem je slučaju 0,5 cm); p je frekvencija varijanata u razredu; n je broj svih varijanata. Za svaki razred treba da ustanovimo, za koliko je areala (a = 0,5 cm) udaljen od aproksimativne srednje vrijednosti. Frekvenciju varijanata svakog razreda napose multipliciramo s udaljenošću od A. Tako dobijemo p. a. Sumu (∑) svih p. a. podijelimo onda sa n. Zatim sve to pomnožimo s arealom a = 0 5 cm. Na taj bi način u našem slučaju našli, da je prosječna duljina klasa M = 10,01 cm.
Na isti način možemo izračunati i prosječan broj klasića u klasu, koji je u našem slučaju M = 17,5.
Varijabilitet svojstava izračunavamo pomoću standardne devijacije:
U našem je primjeru varijabilnost ili standardna devijacija za duljinu klasa ± 1,699 cm, a za broj klasića ± 2,934.
Standardna devijacija je apsolutno mjerilo varijabiliteta. Ako želimo porediti varijabilnost dvaju različitih svojstava, na pr. duljinu klasa i broj klasića, onda se služimo varijacionim koeficijentom v = 100σ/M.
Neka se svojstva organizma pojavljuju uvijek zajedno. U tom slučaju kažemo, da između njih postoji neka zavisnost ili korelacija. Stupanj takve zavisnosti, ako je ona linearna, izračunavamo po Bravaisovoj formuli za korelacioni koeficijent <formula>(r) r=∑paxay—nbxby/nρxρy koji izračunavamo iz korelacione tabele. Jedno svojstvo označimo sa x te ga zovemo suponiranim, a drugo sa y, a zovemo ga relativnim svojstvom.
Korelacija može biti pozitivna ili negativna. Što je zavisnost između dvaju svojstava veća, to je korelacioni koeficijent veći. Korelacioni koeficijent kreće se od 0 do 1. Po gornjoj formuli izračunat je iz korelacione tabele korelacioni koeficijent za duljinu i broj klasića na klasu navedene pšenice, te iznosi r = 0,871. To znači, da su ova dva svojstva međusobno jako povezana.
Pomoću formule za regresiju (R) možemo izračunati za koliko se mijenja jedno svojstvo, ako se drugo promijeni za jednu jedinicu R = r σy/σx ili R = r σx/σy
Pomoću posebnih formula možemo brojčano izraziti event. asimetriju i akcesivnost varijacione krivulje.
Da bismo ustanovili, koliko možemo iz svih do sada spomenutih varijaciono-statističkih vrijednosti neko svojstvo ispravno ocijeniti, treba da pronađemo granice, u kojima se te vrijednosti kreću. U tu svrhu služimo se t. zv. srednjom (m) ili vjerojatnom (E) pogreškom. Srednja pogreška od srednje vrijednosti (M) glasi: mM= σ/√n od standardne devijacije: mσ = σ/√2n varijacionoga koeficijenta mv = v/√2n (ako je v < 10) ili mv = v/√2n√1+2(v/100)2 (ako je v>10); od korelacionoga koeficijenta mr = 1-r2/√n Vjerojatnu pogrešku dobijemo, ako srednju pogrešku multipliciramo s faktorom 0,6745.
Varijaciono-statistički možemo istražiti i kvalitativna svojstva, i to pomoću posebnih formula.
LIT.: E. Czuber, Die statistischen Forschungsmethoden, Beč 1921; F. Bernstein, Variations- und Erblichkeitsstatistik, Handbuch der Vererbungswissenschaft, Berlin 1929; W. Johannsen, Elemente der exakten Erblichkeitslehre, Jena 1926; A. Tavčar, Varijaciona statistika u eksperimentalnoj poljoprivredi, Izdanje Ministarstva poljoprivrede i voda, Beograd 1929; E. Weber, Variations- u. Erblichkeits-Statistik, München 1935. A. T.