DIMENZIJE U FIZICI. Dimenzije neke fizikalne veličine jesu eksponenti u njezinu dimenzijskom izrazu, t. j. u algebarskom umnožku, koji pokazuje, kako jedinica te veličine zavisi o jedinicama veličina, koje su odabrane kao osnovne.
Kada se određuju fizikalne veličine, na pr. dužina, vrieme, sila, energija, jakost električne struje, razsvjeta i t. d., treba da je za svaku utvrđena i jedinica. Jedinica neke veličine može se odabrati nezavisno o jedinicama veličina druge vrsti, kako je to na pr. kod jedinice vremena sekunde, koja se dobiva astronomskim mjerenjima, ili kod jedinice mase kilograma, koji je masa izvjestnog uteza pohranjenoga u međunarodnom uredu za uteze i miere u Sèvresu. Načelno dala bi se za svaku vrst veličina odrediti takva nezavisna jedinica, ali se pokazalo zgodnim, da samo malen broj jedinica odaberemo nezavisno te ih smatramo osnovnima, dok sve ostale izvodimo iz tih osnovnih jedinica. Tako je jedinica obujma kubični decimetar obujam kocke, kojoj brid ima dužinu decimetar, te je ta jedinica obujma određena s pomoću jedinice dužine; jedinicu brzine pak ima tielo, koje u jedinici vremena prevali jedinicu puta. Tim se izvođenjem jedinica jednih iz drugih postizava, da najznatnije veze veličina poprimaju jednostavan oblik. Tako se uz spomenuti izbor jedinica obujam u kocke izračunava iz njezina brida l prema propisu u = l3, a brzina v iz puta l i vremena t prema jednačbi v=l : t. Kad bismo pak mjerili brid kocke opet decimetrima, ali obujam litrima, bio bi zakon obujma manje jednostavan te bi glasio u=0.999973 l3; i kada bi za jedinicu brzine uzeli brzinu, koju svjetlost ima u praznom prostoru, za jedinice puta i vremena kilometar i sekundu, bio bi zakon brzine 299774 v=l:t.
Za koje će se veličine jedinice odabrati kao osnovne, pitanje je shodnosti. Tako se za jedinicu sile i danas gdjekada uzimlje nezavisna jedinica, naime težina, koju ima utez kilogram na odabranom mjestu Zemlje. Međutim daleko je važnija i u mehaničkim se obćim formulama malne izključivo upotrebljava izvedena jedinica, i to sila, koja tielu mase 1 daje akceleraciju 1. Isto tako je pitanje shodnosti, kolik ima biti broj osnovnih jedinica. Tako se u mehanici upotrebljavaju tri osnovne jedinice: za dužinu, masu i vrieme, dok u nauci o elektricitetu i magnetizmu sve više prevladavaju sustavi jedinica sa četiri osnovne jedinice. Tako Giorgi spomenutim trima osnovnim jedinicama kao četvrtu dodaje jedinicu električnog odpora (metar - kilogram - sekunda - om - sustav), dok Kalantaroff (1929) odabire osnovne jedinice za dužinu, vrieme, množinu elektriciteta i tok magnetske indukcije. Kako umnožak množine elektriciteta i toka magnetske indukcije ima značenje veličine, koja se u mehanici zove djelovanje, nadovezuje se na sustav Kalantaroffa sustav mehaničkih jedinica, kojima su osnovne jedinice za dužinu, vrieme i djelovanje. Burniston Brown (1941) gradi fizikalne jedinice iz samo dvie osnovne jedinice: za dužinu i vrieme.
Neka su u mehanici l dužina, m masa, t vrieme. Ako jedinice tih veličina smatramo osnovnima i ako dalje definiramo brzinu v=l : t, akceleraciju a = v : t, silu f=m×a, radnju w = f×l površinsku napetost α=f : l, ploštinu kvadrata p = l2, obujam kocke u=l3, gustoću d=m : u i t. d., onda su tim jednačbama određene i jedinice za v, a, f, w, α, p, u, d i t. d. Doista, iz prve jednačbe sliedi, da je v=l, ako je l=1 i t=1, te je brzina 1, kada se u vremenu 1 prevali put 1. Isto tako iz v=l i t=1 izlazi a = l, te je akceleracija 1, kada brzina u vremenu 1 naraste na vriednost 1 i t. d.
Nameće se pitanje, kako se mienjaju izvedene jedinice, kada mienjamo osnovne jedinice. Primjer: koliko puta je jedinica brzine »kilometar u satu« veća od jedinice »centimetar u sekundi«. Ili obćenije: koliko puta postaje jedinica brzine veća, ako jedinicu dužine zamienimo jedinicom, koja je L puta veća, a jedinicu vremena takvom, koja je T puta veća (u spomenutom primjeru L=100000, T=3600). Broj, kojim je dužina bila prije izražena, smanji se sada na vriednost l'=l : L (u primjeru: 300000 cm = 3 km, te iz l=300000 sliedi l'=3). Isto tako broj t za vrieme kod promjene jedinice prieđe u t'=t : T (u primjeru: 7200 sek = 2 sata). Najposlije ako V kazuje, koliko puta je nova jedinica brzine veća od prvobitne, bit će brzina iza pretvorbe jedinica izražena brojem v' = v : V. Budući da zahtievamo, da i s novim jedinicama vriedi v'=l' : t', izlazi v : V=(l:L) : (t : T). U svezi sa v = l : t onda sliedi V=L:T kao rješenje postavljenog zadatka. Iz dobivene formule čitamo, da je jedinica brzine kilometar u satu 100000:3600=27.8 puta veća od jedinice centimetar u sekundi. Primjenom algebarskog poučka l : xn=x-n može se rezultat pisati i u obliku umnožka
V=LT-1
Taj je umnožak dimenzijski izraz brzine. On nam kazuje, da brzina ima s obzirom na dužinu dimenziju 1 (jer je L=L1), a s obzirom na vrieme dimenziju —1.
Nadovezujući na dimenzijski izraz za V mogu se sličnim postupkom naći dimenzije drugih veličina. Pri tom treba još uvesti omjer M, koji kazuje, koliko puta je pri pretvorbi jedinica nova jedinica mase veća od stare. Tako izlaze dimenzijski izrazi za akceleraciju LT-2, silu LMT-2, radnju L2MT-2, površinsku napetost MT-2, gustoću ML-3 i t. d.
U područje geometrije idu izrazi za površinu L2 i obujam L3. Treba li prieći na pr. od osnovnih jedinica cm-g-sek na sustav m-kg-sek, pretvorbeni su omjeri L = 100, M = 1000, T=l, te iz dimenzijskih izraza izračunavamo, da je na pr. nova jedinica sile 100×1000×1-2=100000 starih jedinica (din), nova jedinica radnje (džul) 1002×1000×1-2=10000000 starih jedinica (erg).
U dimenzijskom izrazu brzine nema faktora M; brzina s obzirom na masu nema dimenzije. Prema poučku x0=1 može se dimenzijski izraz brzine pisati LM0T-1, te je drugim riečima dimenzija brzine s obzirom na masu 0. Dimenzija može biti i razlomak, te je na pr. u elektrostatskom sustavu jedinica dimenzijski izraz množine elektriciteta L3:2M1:2T-l, što u algebri znači isto kao √L3M. T.
Da se iztakne, da omjeri L, T, V,... znače sasvim drugo negoli same veličine l, m, v; ..., često se dimenzijski izrazi stavljaju u uglate zagrade, te se onda za omjere jedinica mogu uporiebiti ista slova kao i za dotične fizikalne veličine. Umjesto L može se dakle pisati [l] i t. d., te je dimenzijski izraz brzine [v]=[lt-1].
Oblik dimenzijskog izraza neke veličine ne zavisi samo o tom, koje se jedinice uzimlju kao osnovne, već i o tome, kojima se definicijama izvedene veličine nadovezuju na osnovne. Tako je za množinu elektriciteta dimenzijski izraz u elektromagnetskom sustavu jedinica L1:2M1:2, što je različno od prije spomenutog izraza u elektrostatskom sustavu. Kraj obilja fizikalnih pojmova događa se, da se dimenzijski izrazi sasvim različitih veličina poklapaju, te je na pr. u nauci o elektricitetu u elektrostatskom sustavu dimenzija kapaciteta ista kao i dimenzija dužine.
S dimenzijskim su izrazima uzko povezane oznake, kakve se često upotrebljavaju za jedinice, koje nemaju osobita imena. Te se oznake grade tako, da se u dimenzijski izraz dotične veličine umjesto pretvorbenih omjera L,... stave sama imena osnovnih jedinica, te se na pr. jedinica brzine bilježi cm×sek-1 (ili cm:sek), jedinica površine cm2, jedinica obujma cm3. Tako se jednom jedinom formulom naznačuje: 1) iz kojih je osnovnih jedinica neka jedinica izvedena, i 2) kakav je dimenzijski izraz veličine, koja se tom jedinicom mjeri. Tako na pr. jedinica tlaka cm-1×g×sek-2 upućuje na to, da je ta jedinica izvedena iz centimetra, grama i sekunde, a i na to, da je dimenzijski izraz tlaka L-1MT-2. Uostalom slično građene oznake često se slažu i iz imena izvedenih jedinica. Tako se jedinica djelovanja obično bilježi erg×sek, gdje je erg, jedinica radnje, i sam izvedena jedinica; ta oznaka kazuje, da je djelovanje umnožak radnje i vremena. Ista jedinica, izražena osnovnim jedinicama, glasila bi cm2×g×sek-1. Jedinica toka magnetske indukcije u m-kg-sek-om-sustavu bilježi se volt×sek, gdje je volt, jedinica napetosti, i opet izvedena jedinica.
Kada bi se upotrebljavao samo jedan sustav jedinica, moglo bi se u prvi mah misliti, da su dimenzijski izrazi suvišni. Međutim upotreba tih izraza pri pretvorbi jedinica nije jedina korist, koju iz njih crpemo. Druga je njihova važna svrha, da služe za izpitivanje valjanosti fizikalnih formula. U svakoj jednačbi, koja veže fizikalne veličine, treba da pojedini članovi (pribrojnici) imaju jednake dimenzije. Kada se dogodi, da to nije, znak je, da se uvukla pogrješka, jer se ne mogu izjednačivati ni zbrajati veličine raznovrstne (na pr. u geometriji kvadratni metri i kubični metri). Primjer: za brzinu v, kojom putuju površinski valovi tekućine, našao je W. Thomson (Lord Kelvin), da vriedi v2 = gλ/2π + 2πα/dλ, gdje je g akceleracija padanja (980 cm ×sek-2), λ dužina vala, α površinska napetost tekućine (za vodu 75 g×sek-2), d gustoća tekućine (za vodu 1 g ×cm-3), π=3.14. Dimenzijski izraz člana na lievoj strani Thomsonove jednačbe jest L2T-2; u prvom pribrojniku desne strane umnožak akceleracije i dužine ima dimenzijski izraz LT-2×L=L2T-2, dok nazivnik, neimenovani broj 2π, nema dimenzije (on se mienjanjem jedinica ne bi mienjao); dimenzijski izraz drugoga člana na desnoj strani je MT-2 : (ML-3×L)=L2T-2. Sva tri člana jednačbe imaju dakle jednake dimenzije, te je s toga gledišta jednačba u redu.
Često možemo »dimenzijskim razmatranjima« bez mnogo teorije dokučiti, kakve su veze neke veličine s drugima. Ako slutimo, da veličina f zavisi samo o a, b, c, i da ta zavisnost ima oblik f=k.axbycz, gdje su nam eksponenti x, y, z nepoznati, a k je faktor bez dimenzija, moći ćemo eksponente odrediti, ako u napisanu jednačbu uvrstimo dimenzijske izraze veličina i dobiveni dimenzijski izraz na desnoj strani učinimo istovjetnim s izrazom na lievoj strani. Kao primjer neka služi titranje kapljice tekućine. Da nema trenja sa zrakom, kapljica bi u prostom padu pod utjecajem površinske napetosti nastojala poprimiti oblik kugle; ako je ona međutim s kojega god razloga na čas izobličena u elipsoid, površinska je napetost stavlja u titranje, te ona prieđe najprije u kuglast oblik, ali se zamahom titranja opet deformira u elipsoid i t. d. Za vrieme l titraja t očekujemo, da zavisi o masi kapljice m, o polumjeru r, što ga kapljica ima u kuglastom obliku, i onda o površinskoj napetosti a. Ako se stavi t=k.mxryaz i prieđe na dimenzijske izraze, dobiva se T=MxLy(MT-2)z ili L0M0T1=LyMx+z+T-2z. Izjednačenjem eksponenta izlazi, da je y=0, z=-½, x=½ Tražena zavisnost prema tome glasi t=k √m/α. Iz jednostavnog dimenzijskog razmatranja saznajemo dakle, kako vrieme titranja zavisi o masi kapljice i o njezinoj površinskoj napetosti, a i to, da to vrieme nije izravno zavisno o polumjeru. Kolik je faktor k, toga dimenzijsko razmatranje ne kazuje. (Lord Rayleigh, od kojega potječe taj primjer, potvrdio je dobivenu formulu obsežnim hidrodinamskim računom i našao kod titraja malenih zamaha k = √3π:8, a odredio je k i za slučajeve, kada kapljica u titranju poprima oblike zamršenije od elipsoida.) Isto tako zatajuje ta metoda, kada je broj nepoznatih eksponenata veći od broja osnovnih jedinica. Prema tome očekujemo, da će se uobće veći broj takvih zadaća moći rješavati, ako se služimo sustavima od više osnovnih jedinica.
Pogledom na doseg te metode poučan je i ovaj primjer. Iz zakona elektrodinamike izlazi, da se tielo, koje je elektrizirano, teže stavlja u gibanje negoli isto tielo, kada nije električno. Prema tome možemo elektriziranom tielu uz masu u običnom smislu rieči pripisati još i prividnu masu, jer je električno. Treba naći zakon te prividne mase m na pr. za kuglu polumjera r, koja je sva jednoliko izpunjena elektricitetom e elektrostatskih jedinica. Tko bi mislio, da je samim nabojem e i polumjerom r prividna masa određena, stavio bi m=k . exry, ali bi odmah vidio, da ta predpostavka ne vodi do cilja. Ona daje naime jednačbu M = (L3:2M1:2T-1)xLy, iz čega bi sliedilo izjednačenjem eksponenata x = 0 i x = 2, a to je protuslovlje. Valjan se rezultat dobiva, ako se uvaži, da osnovne jednačbe elektrodinamike sadržavaju veličinu c, brzinu svjetlosti u praznom prostoru, te i tu veličinu treba uvesti u razmatranje. Izlazi m=ϰ.e2:c2r. Konstanta k u gornjoj formuli ima dakle dimenziju, i tomu se trebalo dosjetiti, a za to se hoće uvid u osnovne zakonitosti. Metoda je dakle manje jednostavna, nego što se u prvi mah čini.
S pojmom dimenzije povezana je metoda t. zv. dinamičke sličnosti (Helmholtz, Rayleigh). Ona se primjenjuje, kada pokusima želimo riešiti kakav mehanički zadatak, koji svojom zamršenošću izmiče podpunoj teoretskoj obradbi; poimence je tehnički znatan slučaj, kada iz pokusa, izvedenih s malenim modelima, nastojimo saznati, kako će se vladati velik mehanizam, na pr. lađa u riečnom koritu. Model i veliki mehanizam treba da su dinamički slični. Pod time razumieva se, da su odgovarajuće veličine (dužine, gustoće, viskoznosti, odpori i t. d.) modela i mehanizma u primjerenim omjerima; kakav omjer treba uzeti za koju veličinu, sliedi iz dinamičkih zakona u svezi s dimenzijskim razmatranjima. Kada zamienimo sve fizikalne veličine mehanizma s dotičnim veličinama modela, matematički zadatak, koji bi trebalo rješavati za model, podpuno se podudara sa zadatkom, koji vriedi za projektirani mehanizam. No teoretsko rješavanje kod modela nadomješta se pokusima i mjerenjima, pa se onda kojagod veličina, mjerena na modelu, prenosi u omjeru, koji toj veličini pripada, na veliki mehanizam, koji želimo sagraditi.
Kao primjer za dinamičku sličnost neka služi tok tekućine kroz horizontalnu ravnu ciev kružnog proreza s polumjerom a. Dok brzina tekućine nije prevelika, tok se odlikuje jednostavnom pravilnošću, te čestice tekućine putuju uzporednim pravcima, pri čemu je brzina najveća u osi cievi, dok je tik uz stienu brzina 0. Ako srednja brzina tekućine u premaši izvjestnu »kritičnu« vriednost U, gibanje postaje zamršenije, te ga zovemo turbulentnim. Za različite tekućine i cievi različitih širina vriednosti U odgovaraju dinamički sličnim slučajevima. Ako je n t. zv. kinematički koeficient viskoznosti tekućine, postoji za kojugod tekućinu jednačba U. a : n krupno jednako 2000 (Reynolds). Ona kazuje: 1) da različite tekućine u jednako širokim cievima mogu u pravilnom toku primiti to veće brzine, što je veća viskoznost n, i 2) da tekućina u širokoj cievi prieđe u turbulentnost kod manje brzine U negoli ista tekućina, kada se giblje u užoj cievi. Budući da n ima dimenzijski izraz L2T-1, dimenzijski izraz veličine Ua : n jest LT-1 . L : L2T-1 = 1, tako da je to izraz bez dimenzije.
Što se dosada reklo o upotrebi dimenzijskih izraza pri rješavanju fizikalnih zadaća, tiče se primjera, u kojima su poznate osnovne zakonitosti pojava, pa dimenzijskim razmatranjem samo obilazimo težkoće, u koje bismo zapali, kada bismo neki zamršeni zadatak htjeli podpuno riešiti. Drugo je, kada se dimenzijskim izrazima služimo nastojeći steći nove spoznaje u samim osnovima fizike. Glasovit je tomu primjer postanak elektromagnetske teorije svjetlosti. Ako dimenzijski izraz množine elektriciteta u elektrostatskom sustavu jedinica podielimo s dimenzijskim izrazom te veličine u elektromagnetskom sustavu, dobiva se LT-1, što je isto kao i dimenzijski izraz brzine; osim toga omjer elektromagnetske i elektrostatske jedinice množine elektriciteta brojevno je jednak, kolika je brzina svjetlosti u praznom prostoru. U tim je činjenicama Maxwell našao poticaj, da uztvrdi, da je svjetlost elektromagnetski pojav, i da izgradi temelje današnjoj teoriji svjetlosti.
Dosta su obilna u novo doba nagađanja o svezama, koje postoje između obćih fizikalnih konstanata, na pr. mase i elektriciteta elektrona, Planckove konstante, broja svih čestica u svietu, ako je on konačan, i t. d. U tim se iztraživanjima vazda uzimlju u obzir dimenzijski izrazi. Neka je spomenuto iz tog područja na pr. Eddingtonovo izvođenje t. zv. konstante fine strukture, važne u nauci o spektrima. To je bezdimenzijska veličina 2πe2 : ch (e elektricitet elektrona izražen elektrostatskim jedinicama, c brzina svjetlosti u praznom prostoru, h Planckova konstanta); njezina je vriednost 1/137, kako se izračunava iz poznatih vriednosti e, c i h. Za slučaj, da bi se utvrdilo, da je Eddingtonov izvod broja 137 u skladu sa zbiljom, bile bi tri obće konstante e, c i h teoretski povezane, što bi značilo velik napredak fizikalne spoznaje.
Osnivač nauke o dimenzijama je Fourier (Théorie analytique de la chaler 1822). U potanjoj obradbi toga predmeta postoje sve do najnovijeg doba različiti pogledi i gdjekada oprečna shvaćanja.
LIT.: Bridgman-Holl, Theorie der physikalischen Dimensionen (prievod), Leipzig i Berlin 1932; Handbuch der Physik II., XVI., VII.St. H.