AKSIOMATIKA. Neprolazna tekovina grčke matematičke filozofije bila je spoznaja hipotetsko-deduktivnog karaktera matematičke nauke, napose geometrije. Budući da je nemoguće svaki pojam definirati i sve tvrdnje dokazati, ako ne ćemo »da odemo u beskonačnost« (Aristotel), nužno je, da se na početku geometrije stavljaju kao dani neki osnovni pojmovi i osnovni odnosi među njima (aksiomi, postulati), za koje se čini, da se nameću jednostavnošću, jasnoćom i svojom prikladnošću za dalje izvode, iz kojih će izlaziti svi drugi pojmovi definicijom, a svi drugi izričaji logičkim zaključivanjem. U toj su metodi istraživanja, koja se sve jasnije očitovala kao bitna, kako su se u tijeku vremena sređivali rezultati grčkih geometara, i Platon i Aristotel gledali osnov matematičke metode i izvor njene dokazne snage. Aristotel prvi i spominje aksiome, kako se u matematici zovu. Euklidovi Elementi (oko 300 pr. Kr.) najsavršenije su grčko geometrijsko djelo izrađeno na aksiomatskoj podlozi: osnovne definicije (na pr. točke, krivulje, površine, kruga i dr.), postulati (kojih je zadaća uglavnom, da osiguraju dalje konstrukcije) i aksiomi (koji se odnose na veze jednakosti i nejednakosti geometrijskih veličina) izričito su navedeni, dokazi na njihovu temelju strogo su i sustavno izvedeni. To je djelo ostalo uzorom sve do novijega doba; Pascal ga ima pred očima, kad traži bit matematičkoga duha i umijeća osvjedočavanja, kao što čine i drugi matematičari, kad im je stalo do savršene metodičke jasnoće. Samo ta metoda daje jasan pogled na strukturu neke nauke, otkrivajući prve sastavne dijelove, iz kojih se izgrađuje cjelina, i ističući eksplicite način zavisnosti pojmova i njenih rezultata od ishodišnih elemenata i povezanosti njenih dijelova; po njoj je samo moguće izabrati elemente najprikladnije za gradnju i u nužnom broju; osim toga izučavanje utjecaja, što ga pojedini elementi imaju na izgradnju cjeline, daje rezultate često od osobite važnosti za tu nauku. No istom moderna aksiomatika, koja potječe od Hilbertovih Osnova geometrije, oslobodivši se tradicionalnih spona, dala je u punoj mjeri sve, što je bilo sadržano u njenu pojmu. Ona ne ispituje podrijetlo aksioma, da li su izričaji apstrahirani iz eksperimentalnih činjenica ili izriču svojstva, koja a priori tvore okvir naše spoznaje, ili su napokon dogovorene ustanove, koje se uzimaju kao najprikladnije radi logičke svoje jednostavnosti i slaganja s iskustvom. Ona ne čini razlike između postulata i aksioma, koja je dolazila u Euklidu kao ostatak metafizičko-matematičkih rasprava iz doba čišćenja tih pojmova. Ni zahtjev zornosti i jasnoće nije za nju jedini odlučan; aksiomi se biraju prema potrebi i cilju, za kojim se ide u tom području, tako da u istom području može biti sustava aksioma, koji leže više ili manje duboko u osnovima te nauke. Što manji njihov broj i što veća jednostavnost zahtjev je ekonomije postupanja, ali ni on nije apsolutan. No ipak mora svaki sustav aksioma zadovoljavati neke zahtjeve. Aksiomi moraju biti u načelu međusobno nezavisni (kao što mora biti i sustav osnovnih pojmova), tako da se nijedan aksiom ne može dokazom izvesti iz ostalih. To se može utvrditi tako, da se pokaže, da se na negaciji jednoga aksioma može izgraditi isto tako suvisla i neprotivurječna zgrada, kao ona, što je bila izgrađena na prvotnom aksiomu. Tako je nezavisnost t. zv. aksioma o paralelama (t. j. da se jednom točkom u ravnini izvan pravca može povući samo jedna paralela s tim pravcem) od ostalih Euklidovih aksioma bila početkom 19. st. izvor za izgradnju geometrije sasvim različne od Euklidove, t. zv. neeuklidske geometrije (v.). Napose su važni zahtjevi neprotivurječnosti i potpunosti aksioma. Neprotivurječnost njihova mora nam zajamčiti, da ne ćemo nikada naići na dvije međusobno protivurječne tvrdnje, ma kako daleko išli u izvodima u toj nauci; potpunost će nam dati sigurnost, da se svaki izričaj pojedine nauke može izvesti polazeći od aksioma i osnovnih definicija sustava. Jedna karakteristika tako izgrađenog aksiomatskog sustava jest, da definicije osnovnih pojmova nisu dane eksplicite i individualno, nego zajedno u cjelini i implicite Ne definira se u današnjoj aksiomatskoj geometriji izričito, što su točka, pravac, ravnina; sve, što o njima znamo jesu veze, u koje oni ulaze i koje su opisane aksiomima a izričemo ih s »leži na«, »leži među«, »paralelan s...« i sl. Posljedica tih implicitnih definicija jest, da su one nezavisne o značenju pojmova i njihovu sadržaju, pa svaki sustav elemenata, što zadovoljava iste aksiomatske odnose, može biti predstavnik tih pojmova. Na taj se način geometrijske činjenice mogu predočiti u obliku aritmetičkih izričaja, a to i jest način, kojim je Hilbert utvrdio neprotivurječnost aksioma euklidske geometrije, osnovavši je na neprotivurječnosti artimetike realnih brojeva. Svaki se aksiomatski sustav može dakle interpretirati na različne ekvivalentne načine; jedna njegova realizacija predočuje njegov model. Teoremi, izvedeni u jednoj interpretaciji, vrijede nepromijenjeno, ali s drugim značenjem i u drugoj interpretaciji. Mada je već i time bio osvijetljen formalizam matematičke nauke, trebalo je ipak ići još bitno dalje, da se uzmogne provesti istraživanje neprotivurječnosti, kao i druga teoretska istraživanja aksiomatike, strogo, potpuno i nezavisno od svih slučajnosti shvaćanja i predočivanja; valjalo je formalizirati sav postupak matematike uz pomoć simbola matematičke ili simboličke logike (v.). A kako u jednu ruku još nitko nije dokazao neprotivurječnost analize, i napose aritmetike, a na nju se svodio dokaz neprotivurječnosti drugih grana matematike, pa kako je u drugu ruku nemoguće odijeliti u osnovima elemente logičke od matematičkih, postavio je Hilbert osnove za novu zajedničku teoretsku izgradnju na aksiomatskoj podlozi i analize i logike. U tu se svrhu najprije uvode znakovi za različne kategorije »promjenljivih«, za osnovne logičke i matematičke relacije, aksiome, formule te pravila za formalno operiranje njima. Sve dosadašnje izricanje sadržajnih zaključaka u matematici i logici prelazi time u skup formula, koje sadržavaju i logičke znakove (na pr. za »slijedi«, »ne« i sl.) i s kojima se vrše točno označene formalne operacije. Definicije, aksiomi, dokazi, teoremi nisu rezultat misaonih operacija, nego su formule dobivene operiranjem sa simbolima. Sadržajna ispitivanja počinju tek na višem stupnju, koji čini t. zv. metamatematiku i kome je glavni predmet istraživanja sama bit dokaza. Teorija dokaza ima za svrhu ispitivanje operiranja dokazima, koji u tome stadiju nisu drugo nego konkretne, formalne sheme izrađene po točno utvrđenim pravilima; na tome se temelju istražuje teorija toga formalizma (na pr. koji su aksiomi potrebni za neki dokaz), a napose neprotivurječnost cijeloga sustava aksioma, koja u tom formalizmu izlazi na dokaz nemogućnosti dviju formula, građenih na neki poseban način. Po tome je uzoru uspjelo dokazati neprotivurječnost nekih važnih formalnih sustava (na pr. aritmetike, teorije skupova), pri čemu je došao do izražaja neočekivani jedan rezultat te teorije, koji vrijedi za svaki formalni sustav, naime spoznaja o načelnoj ograničenosti sredstava te teorije, pošto je Gödel dokazao, da nijedna formalna teorija, koja obuhvata aritmetiku i simboličku logiku, a neprotivurječna je, ne može dokazati svoje neprotivurječnosti iz svojih formalnih sredstava, nego ih nužno mora uzeti iz opširnijega kojeg formalizma; matematika, kako je rečeno, ne da se obuhvatiti jednim samo formalnim sustavom; uži dio može dokazati svoju neprotivurječnost samo takovim formalnim dokaznim sredstvima, koja prelaze granice toga područja. Što se tiče dokaza potpunosti aksiomskoga sustava, mogao je Gödel pokazati, da ima takovih formula, da se ni one ni njihove negacije ne daju u njemu izvesti, dakle da ima teorema, o kojima načelno ne može pasti odluka ni u jednom ni u drugom smislu unutar formalnog okvira toga sustava, kao što ima i pojmova, koji se ne daju u njemu definirati. Aksiomatika je posljednji stadij u razvoju svake nauke, okosnica, iz koje je, istina, nestalo svakog traga žive realnosti stvaranja, ali koja je po čistome svom formalizmu osobito važno sredstvo za teoretska istraživanja, napose osnova matematike, a zatim i svakoga područja nauke, koje se dovinulo do onoga stupnja egzaktnosti, kako ga traži aksiomatika. Jer »aksiomatski postupati ne znači u tom smislu ništa drugo nego svijesno misliti« (Hilbert).

LIT.: D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, 1899, 7. izd. 1930, B. G. Teubner, Berlin—Leipzig; D. Hilbert-P. Bernays, Grundlagen der Mathematik, sv. I. (1934), II. (1939), J. Springer, Berlin; A. Tarski, Einführung in die mathematische Logik und in die Methodologie der Mathematik, J. Springer, Beč 1937; F. Gonseth, Les fondements des mathématiques. De la géométrie d’Euclide à la relativité générale et à l’intuitionisme, A. Blanchard, Pariz 1926; J. Cavaillès, Le problème du fondement des mathématiques, Hermann et Cie, Pariz 1938.