ELASTIKA (lat. elastica) ili elastička krivulja nastaje, kad se kruta elastična vrpca (tanak štap), izprva ravna, svine u krivulju AMB (sl. 1) silama P i Q, koje djeluju na krajeve vrpce. Uvjet je ravnotežja, da su sile jednake i protivne, Q = —P, i da su u istom pravcu, a krajevi mogu biti na pr. svezani užetom tako, da sile nastaju od napeta užeta. Da se nađe zakon te krivulje, treba izpitati ravnotežje diela vrpce, koji seže od kraja A do koje god točke M. Na taj komad osim sile P djeluju još i sile, što ih preostali dio vrpce, MB, izvodi na AM kroz prorez vrpce na mjestu M. Te sile nalazimo tako, da u misli premjestimo silu P na kraj M komada AM; u tu se svrhu dodaju kod M dvie jednake i protivne sile P' i Q', gdje je Q'=—P' = -P. Sila P se time nadomješta silom P' i parom sila P i Q'. Taj par sila ima momenat U = P ∙ y, ako je y udaljenost točke M od pravca sila AB. Sile, koje djeluju kroz prorez, moraju biti dakle takve, da su u ravnotežju sa silom P' i sa spomenutim momentom. Ako se vrpca u misli razstavi u uzporedna vlakna, bit će ova radi svinutosti vrpce na unutarnjoj strani krivulje stisnuta, a na izvanjoj nategnuta, pa kroz prorez M djeluju i tlakovi i vlakovi. Zbroj momenata S svih tih sila zove se moment savijanja. On je to veći, što je veća krivost vrpce x (= l:r, ako je r polumjer krivosti), te je S = b ∙ ϰ, gdje se faktor b zove krutost u savijanju. Moment S u ravnotežju je s momentom U, što daje osnovno svojstvo e-e

b ∙ ϰ = —P ∙ y. (1)

Po tom je zakonu krivost u kojoj god točki e-e razmjerna udaljenosti točke od pravca izvanjih sila. U krajnjim je točkama A i B krivost dakle = 0. Uostalom u tim točkama krivulja geometrijski ne prestaje, već se nastavlja u jednakim lukovima BB₁, B₁B₂,... na jednu i drugu stranu u bezkrajnost. Kako u točkama A, B, B₁, B₂,... krivost mienja predznak, te točke zovemo točkama infleksije. Fizikalno to znači, da bi umjesto vrpce AB mogli uzeti vrpcu na pr. dvostruke dužine, koja bi se mogla svinuti u oblik AMBM₁B₁ silom P u točki A i silom Q₁ (=—P) u točki B₁. Tako se mogu zamisliti e-e, koje između krajnjih točaka imaju jednu ili više točaka infleksije. Međutim bi ravnotežje takve vrpce bilo labilno, t. j. nemoguće, te bi ga već najneznatniji poticaj pokvario.

Za bliže iztraživanje e-e uvodi se dužina s njezina luka i kut Θ, što ga čini tangenta krivulje s pravcem sila. S obzirom na to, da je ϰ = d Θ : ds, sliedi iz (1) diferencialna jednačba e-e

b/p · d²Θ/ds² = — sin Θ. (2)

Ta se jednačba podudara s jednačbom gibanja (sastavljena) njihala, gdje također Θ znači kut, i to kut, koji čini težištnica okomita na osi njihala s vertikalom, dok s znači vrieme. Krivosti e-e odgovara kod njihala kutna brzina. Što je kod e-e njezin početak, točka A, gdje je Θ = α, ϰ = 0, to je kod njihala mjesto najveće elongacije, gdje je kutna brzina 0. Najveću krivost ima e. u C, gdje se najviše udaljila od pravca sila; kod njihala je tomu analogija čas, kad ono prolazi kroz položaj ravnotežja, te mu je brzina najveća.

Zadaću e-e načeo je Jakob (I.) Bernoulli, potanko razmotrio moguće slučajeve Euler 1744, dok podpuno njezino rješenje iziskuje primjenu eliptičkih funkcija.

Različiti se oblici e-e dobivaju, kad se mienja razmak njezinih točaka infleksije. Da se krajnje točke A i B zbliže i pri tom ne mienjaju sile P i Q, treba uzeti primjereno dulji komad vrpce. Kut α, što ga početak vrpce čini s pravcem sila, postaje onda veći. Tako kutu α = 110º pripada krivulja sl. 2. Ako je α = 130º41' (Euler), krajnje se točke A i B sastaju (sl. 3), lukovi se e-e poklapaju i čine oblik osmice. Sile P i Q izobliče još dužu vrpcu toliko, da se krajevi mimoilaze (sl. 4). Za α = 180º e. se sastoji samo od jednoga, bezkrajnog luka, koji se pravcu sila približuje asimptotički (sl. 5). Već je Euler napisao jednačbu te krivulje i našao, kolik joj je kut u petlji (112º56'48"), i kolika je udaljenost krivuljine dvotočke od pravca sila. Kod njihala tomu odgovara slučaj, kad njihanje započne iz namještaja, gdje je njihalo »izvrnuto« i u labilnom raznotežju, te je vrieme 1 njihaja ∞.

Ako se najveći razmak točaka e-e od pravca sila označi sa Y (sl. 2), vriedi za primjere, koji su dosada spomenuti,

Y = 2 sin . (3)

Preostaju oni oblici e-e, koji odgovaraju gibanju njihala, kod kojega uobće nema njihanja, već se njihalo vrti vazda u istom smislu. E. sada nema točaka infleksije te je svagdje svinuta u istom smislu (sl. 6 i 7). Udaljenost se od pravca sila sada mienja između najmanje vriednosti Y', u točkama A i B, i najveće vriednosti Y. Sile P i Q mogu držati komad AB u njegovu izobličenju na taj način, da se u A i B na e-u pričvrste po jedan komad savršeno krute tvari, koja seže do pravca sila. To vriedi, kao da bi sila P djelovala u A, Q u B, i kao da bi povrh toga u svakoj od tih točaka djelovao još i par sila (bez kojega u A i B ne bi bilo krivosti). Za ove primjere vriedi

Y² — Y'² = 4 ∙ . (4)

Bezkrajno dugi luk (sl. 5) jest granični slučaj za ovu jednačbu kao i za (3). Treba u (4) staviti Y' = 0 ili u (3) α = 180º, da se dobije visina bezkrajno duga luka Y=2 .

Već je Euler tim primjerima dodao još i e-u, koja je kružnica. Njezina je analogija gibanje njihala, kojemu je težište u osi, te ono postaje zamašnjak, koji se vrti stalnom brzinom. Jednačba e-e (1) tad glasi: b ∙ ϰ = konst. Tomu treba da je P ∙ y stalno, što se teoretski obuhvaća pomišlju, da sila P postaje sve manja, a njezino hvatište prelazi u bezkrajnost, i to tako, da je lim(P ∙ y) = konst.

Na iztraživanje e-e nadovezuje se Eulerovo, tehnički važno odkriće formule za izvijanje (izgib, njem. Knickung). Vertikalnom štapu, koji se svršava u kugličnim zglobovima, donji je kraj, B (sl. 8), učvršćen, dok se gornji, A, može pomicati u vertikali. Ako se štap odozgo obtereti utezom P, pod kojim se ne će smrviti, može se dogoditi jedno od dvoga: ili štap ostane ravan, pa se čak i vrati u svoj ravni oblik, ako smo mu načinili izbočinu i opet ga pustili; ili se štap izvine i primi oblik e-e. U potonjem je slučaju ravni oblik štapa bio oblik labilnoga ravnotežja, te je utezom P prekoračena granica štapove čvrstoće prema izvijanju. Ta se čvrstoća izražava najmanjim teretom P₀, koji stvara izvijanje. Da se nađe P₀, treba imati na umu, da za maleno α e. ima oblik sinusoide, s lukom, koji je jednak dužini l štapa, i amplitudom Y. Ako je l' razmak krajnjih točaka izvinutoga štapa, krivost je sinusoide na mjestu najveće krivosti — Y, pa je prema (1) b ∙ = P, iz čega sliedi glasovita »Eulerova formula«

P₀ = . Čvrstoća je prema izvijanju dakle to veća, što je veća krutost u savijanju b, i ona je obrnuto razmjerna kvadratu dužine štapa; štap dvostruke dužine klonut će već pod četvrtinom tereta.

Jednostavan je put do Eulerove formule i ovaj. Luk sinusoidnc e-e ima dužinu π (analogno vremenu njihaja, kada je amplituda malena), i ta dužina ne može biti veća od l, te se P₀, dobiva iz jednačbe

Veličina b zavisi o tom, kako je ravnina, u koju se štap savija, smještena prema prorezu štapa. Ima doduše primjera, gdje za sve te ravnine vriedi isto b (na pr. prorez krug), ali ako je prorez na pr. plosnat pravokutnik (primjer vrpce), onda je b manje, kada je ravnina savijanja uzporedna debljini proreza, veće, kada je uzporedna širini. Za čvrstoću prema izvijanju odlučna je, dakako, najmanja vriednost b.

LIT.: Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Br. 175. (Jak. Bernoulli, Euler), Leipzig 1910.St. H.