EKSTREMNE VRIEDNOSTI ili ekstremi i njihovo izučavanje jedan je od bitnih dielova matematike, osobito diferencialnog računa (v.) i računa variacija (v.). Najčešće se govori o e-im v-ima funkcije, t. j. o najvećim (maksimumu) i najmanjim (minimumu) vriednostima funkcije, no govori se i o ekstremima skupova (prvi i zadnji član skupa), funkcionalna (na pr. najkraći put od A do B) i t. d.
1. Ekstremi funkcije. Veli se, da funkcija f(x) u točki a ima maksimum (minimum), ako je u neposrednoj blizini točke a funkcija f(x) najviše (barem) jednaka f(a), t. j., ako je f(x)wf(a) [odn. f(x)f(a)]; na pr. funkcija y = sin x ima minimum -1 i maksimum +1, a funkcija ih dostiže na bezbroj mjesta x = 270° + n ∙ 360º, odn. x — 90º + n. 360º, gdje je n = 0, ± 1, ± 2, ... Kvadratna funkcija y = ax2 + bx + c dostiže svoj ekstrem y0 = c — b2/4a na mjestu x0 = — b2/2a; iz izraza za samu funkciju y = ax2 + bx + c = a(x2 + b/a x) + c = a(x + b/2a)2 + c — b2/4a vidi se, da je y0 = c— b2/4a maksimum ili minimum, već prema tome, je li a negativan ili pozitivan. Geometrijski je tvar očigledna, jer obća kvadratna funkcija y = ax2 + bx + c predočuje parabolu, kojoj je os okomita na abscisnu os, a tjeme joj ima koordinate x0 =— b/2a, y0 = c— b/4anadalje, parabola okreće svoju šupljinu prema gore za a > o, a prema dolje za a < o. Kao zoran primjer toga razmatranja uzmimo kosi hitac: tielo, izbačeno brzinom c pod kutom a, opisivat će parabolu y = — g/2c2cos2α x 2 + x tga, koja je dakle okrenuta prema dolje, pa joj gornji račun daje maksimum (visinu uzpona) y0 = 2c2cos2α/g , a taj je baš iznad mjesta x0 = c2sin2α/2g.
Inače kod običnijih funkcija f(x), koje imaju derivaciju f’(x), da f(x0) bude ekstrem, nuždno je, da ta derivacija f’(x0) izčezava; prema tome, ona se mjesta, u kojima f(x) poprima svoje ekstreme, nalaze među rješenjima jednačbe f’(x) = 0. Tako za kvadratnu funkciju f(x) = ax2 + bx + c imamo f’(x) ≡ 2ax + b = 0, odakle x =— , t. j. mjesto, gdje nastupa ekstrem, kao što smo već vidjeli.
2. Ne mora svaka funkcija imati ekstremnih vriednosti; na pr. linearna funkcija y = ax + b, gdje je a ≠ 0, nema ni maksimuma ni minimuma; kvadratna funkcija ima ili maksimum ili minimum, ali nema oboje. Vidjeli smo, da sinx dostiže svoje ekstreme na bezbroj mjesta; ima funkcija, koje u svakom intervalu imaju neizmjerno mnogo ekstrema.
Za pitanje je eksistencije ekstrema važan Bolzano-Weierstrassov teorem (→ teorija funkcija).
3. Didonin problem. I osnivanje Kartage povezano je za jedan problem o ekstremu. Kad je naime Feničanka Didona prebjegla u Sjevernu Afriku, sklopila je s kraljem Iarbom ugovor o iznajmljivanju zemljišta, koje bi mogla opasati jednom volovskom kožom; na tom je zemljištu sagrađena Kartaga. Svakako, Didona je htjela da dobije što veće zemljište pa je zato volovsku kožu dala izrezati na tanke niti, koje je onda nadovezala u jednu dugu nit; k tome je izabrala zemljište uz morsku obalu, da s te strane ne troši svoje vrpce. I taj »Didonin problem« nije u svoj svojoj obćenitosti podpuno riešen. Inače, kad bi se radilo o idealno ravnom terenu, opasanom sa sviju strana krivuljom zadane dužine, omeđeno bi zemljište bilo krug, jer je kružnica ona krivulja, koja među svim krivuljama zadane dužine obuhvaća najveću površinu; slično se kvadrat odlikuje svojstvom, što među svim četverokutima, koji imaju s njim jednak obseg, ima najveću površinu. Obćeno, pravilni n-ero-kut ima veću površinu od ma koga nepravilnog višekuta s istim brojem stranica i s istim obsegom.
4. U diferencialnoj geometriji i fizici važan je problem odrediti najkraći put između dva mjesta držeći se pritom različnih zahtjeva, na pr., da taj put mora biti na zadanoj površini. Na pr. najkraći put na kugli između njene dvie točke jest onaj, koji leži u ravnini određenoj tima dvjema točkama i središtem kugle.
5. Po Fermatovu principu svietlo se širi od jednog mjesta do drugog tako, da pri tom utroši što manje vremena. Odatle se lako izvodi zakon refleksije (kut upada = kut odraza) i zakon loma (Snelliusov zakon). Obćeno, prema Hamiltonovu principu mehaničko se zbivanje u prirodi odvija tako, da izvjestna funkcija (zapravo funkcionala) bude ekstrem. I pčelinje saće je građeno tako, da se potroši što manje materiala. Uronimo li u sapunicu kakve žičane kolutove te ih onda izvadimo, naprave se mjehuri, koje brojimo među minimalne površine: od svih površina, koje prolaze zadanom krivuljom, imaju one najmanju ploštinu.
6. Problem normale i osi. Jedan od prvih težih problema o ekstremima riešio je u svojoj V. knjizi o čunosječnicama (Κωνιϰά) grčki matematičar Apolonije (3. st. pr. Kr.) odredivši normaile iz zadane točke na zadanu čunosječnicu, odredivši dakle ekstremalne spojnice zadane točke s točkama na zadanoj čunosječnici. I problem osi, t. j. ekstremalnih tetiva čunosječnica primjer je o ekstremima; njegova generalizacija važna je kod redukcija kvadratnih forma.
7. Ekstremi skupa, u kojem je uveden posvemašnji ili parcialni poredaj (→ uređeni skupovi), jesu njegovi članovi, izpred kojih, odnosno iza kojih nema drugih članova skupa; na pr. u uređenom skupu brojeva — 1, 0, 2, 8 prvi je element -1, a zadnji 8; u skupu prirodnih brojeva 1 je najmanji član, a najvećeg nema; skup brojeva, koji su veći od 0, a manji od 1, nema ni najmanjeg ni najvećeg člana, jer brojevi 0 i 1, koji bi to bili, ne pripadaju samom skupu; premda dakle 0 i 1 nisu ekstremi toga skupa, imaju jedno od značajnih svojstava ekstrema: u našem slučaju brojevi 0 i 1 jesu najveći, odnosno najmanji broj među svim brojevima, izpod odnosno iznad kojih nema nijednog člana našega skupa. Tako se definiraju suprem i infim, odnosno gornja i donja ograda skupa, pa je dakle u gornjem primjeru 1 suprem skupa, a 0 njegov infim. Ako suprem pripada skupu, tad je maksimum skupa.Đ. K.
U meteorologiji su e. v. najviše i najniže vriednosti, koje u određenom razdoblju vremena može poprimiti neki meteorologijski element, na pr. tlak zraka, temperatura, vlaga i t. d. U klimatologiji se za karakterizaciju klime nekoga mjesta ili kraja daju osim absolutnih i t. zv. srednji e. klimatskih elemenata. Srednji e. računaju se obično kao aritmetički srednjaci pojedinačno mjerenih absolutnih e-a, koji su nastupili u određenom odsjeku vremena (dan, mjesec, godina), ili kao poprečne vriednosti spomenutih srednjaka iz nekog dužeg razdoblja. Razlika između istovrstnih e-a suprotnog značaja (maks. — min.) daje veličinu kolebanja (amplituda) klimatskog elementa. Veličine e-a i njihove razlike određuju pobliže klimu nekog mjesta ili područja na Zemlji.M. K-o.